Презентація на тему:
"Інтеграл"

МІНІ ПІДРУЧНИК Інтеграл та його застосування 11КЛАС Ананьєва Поліна

Означення Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на даному проміжку, якщо для будь-якого х з цього проміжку Перейти до змісту

Таблиця первісних (невизначених інтегралів) Перейти до змісту Функціяf(x) Загальний вигляд первіснихF(x)+С, де С - стала Запис за допомогою невизначеного інтеграла 0 С 1 х+С

Операція знаходження Похідної функції- диференціювання Первісної функції- інтегрування Диференціювання функції f(x) – операція знаходження її похідної . Наприклад. Знайти похідну функції: а) ; б) . Розв’язання а) ; б) . Знаходження функції f(x) за даною її похідною F(x) називається операцією інтегрування. Операція інтегрування обернена до операції диференціювання. Наприклад. а) Якщо , то , оскільки . б) Якщо , то , оскільки . Перейти до змісту

Якщо F(x) первісна для f(x) Основна властивість первісної Геометрична інтерпретація основної властивості первісної Кожна із функцій y=2x2; y=2x2+2; y=2x2-2 є первісною для функції y=4x Графіки всіх первісних даної функції можна одержати з будь якого шляхом паралельного перенесення вздовж осі оy F(x)+c –загальний вигляд первісної для f(x) то F(x)+c-первісна для f(x) C-довільна стала 1 2 -1 -2 -1 1 Перейти до змісту

Три правила знаходження первісної Якщо F-первісна для f, H-первісна для h Якщо F-первісна для f Якщо F(x) - первісна для f(x) то то то F+H-первісна для f+h kF-первісна для k∙f;k=const. F(kx+b)-первісна для f(kx+b); k і b-сталі;k≠0 Перейти до змісту

Криволінійна трапеція та її площа Перейти до змісту Криволінійною трапецієюназивається фігура,обмежена графіком невід’ємної на відрізку функції, віссюОхі прямимиx=aіx=b. Наприклад. Теорема.Нехай - непарна і невід'ємна на відрізку функція, аS– площа відповідної криволінійної трапеції. Якщо - первісна для на інтервалі, що містить відрізок , то. Наприклад. Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями: , ,x=0, . Розв’язання - синусоїда; - вісьOx;x=0 – вісьОу; - пряма, що проходить через точку паралельно осіОу. Для функції первісною єa=0,b= . НехайS- шукана площа, тоді. (кв. од.) Відповідь: 2 кв. од.

А. А. Б. Б. ВАРІАНТ І ВАРІАНТ ІІ 4 4 5 5 Повернутися до завдань

Формула Ньютона - Лейбніца Основні властивості визначених інтегралів При перестановці границь інтегрування знак інтеграла змінюється на протилежній Інтеграл з однаковими границями дорівнює нулю Відрізок інтегрування можна розбивати на частини Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів від функцій-доданків Постійний множник можна виносити за знак інтеграла Перейти до змісту - підінтегральна функція; - підінтегральний вираз; a- нижня межа інтегрування; b- верхня межа інтегрування; x– змінна інтегрування.

ВАРІАНТ І ВАРІАНТ ІІ А А Б Б Повернутися до завдань

Зміст Означення Таблиця невизначених інтегралів Диференціювання та інтегрування Властивість первісної Правила знаходження первісної Криволінійна трапеція та її площа Визначений інтеграл Формула Ньютона - Лейбніца Тести та завдання

Приклад: Знайти площу фігури, обмеженої лініями Розв'язання Графік функції f перетинає пряму y = 0 у точках . Одна з первісних функції f на відрізку [-2; 2] є функція . Тоді Або, враховуючи симетричність фігури, маємо Відповідь:

Визначений інтеграл - неперервна на проміжку І; - первісна для на проміжку І; - приріст первісної. Число називається визначеним інтегралом від a до b від функції , , Перейти до змісту

4. 4. А Б В А Б В 5. 5. А Б В А Б В ВАРІАНТ І ВАРІАНТ ІІ Тестові завдання Відповіді Перейти до змісту

Завдання 1. Знайти загальний вигляд первісної для функції: 2. Для функції знайти первісну, графік якої проходить через точку А: А(-1;-3); А(1;2); Відповіді А А Б Б А А ВАРІАНТ І ВАРІАНТ ІІ Перейти до змісту

3. Обчислити інтеграл: Відповіді А А Б Б ВАРІАНТ ІІ ВАРІАНТ І Перейти до змісту

4.Знайти первісну для функції: ВАРІАНТ ІІ ВАРІАНТ І 5.Обчислити: А. А. Б. Б. Відповіді Перейти до змісту

6.Обчисліть площу криволінійної трапеції, обчисленої графіком функції f(х) = х3 та прямими у = 0; х = 1; х = 2. ВАРІАНТ ІІ ВАРІАНТ І 6.Обчисліть площу криволінійної трапеції обмеженої графіком функції f(x) = sin х та прямими Відповіді Перейти до змісту

ВАРІАНТ І ВАРІАНТ ІІ Б А А А В В Б В Б А Повернутися до завдань

А(-1;3); С=-6 А(1;2); С=4 повернутися до завдань ВАРІАНТ І ВАРІАНТ ІІ А А