Презентація на тему:
Основи диференціального та інтегрального числення. Диференціальні рівняння.

Основи диференціального та інтегрального числення. Диференціальні рівняння.

План лекції Похідна функції. Диференціал функції. Основи інтегрального числення. Диференціальні рівняння Загальний та частковий розв'язок диференціяльного рівняння Диференціальні рівняння з розділеними змінними і зі змінними, які можна розділити. Диференціальні рівняння другого порядку. Моделювання фізико-хімічних та біологічних процесів лінійними однорідними диференціальними рівняннями

Похідна функції. Похідною функції y=f(x) по аргументу х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля. Похідна функції y=f(x) позначається через : у , у (х), f , f (x).

Похідна від похідної називається похідною другого порядку, або другою похідною. Позначається таким чином : y , y(2) , f (x), f(2)(x) . Подібним чином вводиться поняття похідної n-ного порядку.

Таблиця формул диференціювання елементарних функцій.

Продовження таблиці основних формул диференціювання елементарних функцій.

Знаходження похідної функції, використовуючи табличні похідні та похідну добутку, суми і частки.

Визначення інтервалів монотонності та екстремумів функції.

Похідні складних функцій. Нехай у є функція від u : y=f(u), де u є функція від аргументу х : u= (x); тоді ми можемо записати y=f( (x)). Якщо для відповідних значень х і u існують похідні, то існує і похідна від у по х . причому має місце рівність : y =f(u)u =f[( (x)] (x).

Знаходження числового значення функції.

Основи інтегрального числення. Невизначений інтеграл

Невизначений інтеграл

Властивості невизначеного інтеграла 1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції: [∫f(x)dx]'=f(x). 2. Диференціала від невизначеного інтеграла дорівнює під інтегральному виразу: d [∫f(x)dx]=f(x)dx

Властивості невизначеного інтеграла 3. Інтеграл від диференціала первісної дорівнює цій первісній: ∫d[F(x)+c]=Fx)+c 4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла: ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.

Властивості невизначеного інтеграла 5. Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку зокрема: ∫[f1(x)±f2(x)]dx=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx

Основні формули інтегрування:

Основні формули інтегрування:

Методи інтегрування Розрізняють три найпростіших методи інтегрування: безпосереднє інтегрування інтегрування методом заміни змінної інтегрування частинами.

Метод безпосереднього інтегрування Безпосереднім - називається інтегрування при якому шляхом алгебраїчних перетворень і застосування властивостей невизначеного інтеграла зводять підінтегральні вирази до основних формул інтегрування, тобто до табличного вигляду.

Метод інтегрування заміни змінної Інтегрування методом заміни змінної полягає в переході від заданої змінної інтегрування до іншої змінної, для того, щоб звести під інтегральний вираз до одного з табличних. Вибір заміни змінної в кожному конкретному випадку залежить від підінтегрального виразу .

Метод інтегрування за частинами

Визначений інтеграл.

Основні властивості визначеного інтеграла

Методи обчислення визначеного інтеграла.

Визначення диференціального рівняння

Порядок диференціального рівняння

Загальний та частковий розв'язок диференціяльного рівняння Загальним розв'язком диференціального рівняння називається функція, яка після підстановки у диференціальне рівняння перетворює його в тотожність.

Диференціальні рівняння з розділеними змінними і зі змінними, які можна розділити.

Диференціальні рівняння другого порядку. Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Можуть реалізовуватися такі випадки:

Моделювання фізико-хімічних та біологічних процесів лінійними однорідними диференціальними рівняннями

Закон поглинання іонізуючого випромінювання середовищем.

Закон розмноження бактерій.

Закон розчинення лікарської речовини з таблетки.

Хімічні реакції першого порядку: А продукт реакції.

Хімічні реакції другого порядку: А+В продукт реакції.