Презентація на тему:
Похідна функції. Диференціал функції. Застосування диференціала. Функція багатьох змінних. Частинна похідна. Частинні і повний диференціали. Застосування повного диференціала.

* Похідна функції. Диференціал функції. Застосування диференціала. Функція багатьох змінних. Частинна похідна. Частинні і повний диференціали. Застосування повного диференціала.

* Похідна та диференційованість функції Функція f має в точці x похідну: Фізичний зміст похідної: Геометричний зміст похідної: Функція f диференційована в точці x: Функція f неперервна в точці x Арифметичні операції над диференційованими функціями u I v: Похідна складеної функції y=f(u), u=ф(x): Похідна оберненої функції x=ф(y): Таблиця похідних Похідні вищого порядку:

* В чому полягає суть фізичного та геометричного змісту похідної та як його використовувати в математичних задачах?

* І.Ньютон сформулював дві основні проблеми математичного аналізу: 1). Довжина шляху, який долається, є постійною(тобто в будь-який момент часу); необхідно знайти швидкість руху у пропонований час; 2). Швидкість руху постійно дана; необхідно знайти довжину пройденого у запропонований час шляху.

* 1). Задача про миттєву швидкість: 2). Задача про знаходження змінного струму, який проходить по провіднику:

* 3). Друга похідна: (t)

* 4). Приклад:

* Висновок:

*

* N дотична січна M Дотичною до кривої в даній точці M, називається граничне положення січної MN, коли точка N прямує вздовж кривої до точкиM.

* y x k-кутовий коефіцієнт рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою .

* На малюнку зображений графік функції та дотичні до нього в точках . Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть . y x 0 Розв’язання

* Знайдіть, при яких значеннях параметра а дотична до графіка функції у точці з абсцисою проходить через точку N(3;4). Розв’язання

* Повне перетворення функції 2-х змінних Якщо обом змінним дати приріст, то функція отримає повне перетворення.

* Означення фиференційованої функції. Функція називаєтся дифференційованою в точці М(х,у), якщо її повне перетворення можна представити у вигляді , де Δx и Δy -похідні аргументів х і у в де М(х,у), А і В –сталі, незалежні від Δx і Δy , -відстань між М(х,у) і

* Означення диференціалу Головна лінійність відносно Δx и Δy частина повного перетворення функції називається повним диференціалом цієї функції і позначається dz або df(x,y) . Таким чином, .

* Формула для обчислення дифференціала Якщо функція дифференційована в точці М(х,у),то вона має в цій точці частинні похідні , і причому =А, а =В . Таким чином, . Якщо , то

* Диференціали вищих порядків Дифференціалом другого порядку функції z=f(x,y) називаєтся Вагалом: Якщо х і у незалежні зімінні, то

* Достатня умова диференційованості функцій Нехай функція в деякому околі точки М(х,у) має частинні похідні, і , які неперервні в точці М. Тоді функція дифференційована в цій точці.

* Достатня умова диференційованості функцій Озн. Функція, котра має в деякій точці неперервні частинні похідні, називається неперервно диференційованою в цій точці

* Екстремуми функцій двох змінних Означення. Говорять, що в точці функція f (x,y) має максимум, якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх точок P(x,y) цього околу, відміннихх від , виконується нерівність Аналогічно визначається мінімум функції. Мінімум і максимум функції називаються її екстремумами. .

* Екстремуми функцій двох змінних Теорема (необхідна умова екстремума). В точці екстремума функції декількох змінних кожна іі частинна похідна або рівна нулю, або не існує. Точки, в яких виконуються ці умови, називаются критичними.

* Достатня умова екстремума функції двох змінних Теорема. Нехай функція z=f(x,y) визначена і має неперервні частинні похідні другого порядку в деякому околі точки , в якої . Якщо при цьому в цій точці виконується умова , то точка являється точкою екстремума функції, причому точкою максимума, якщо , і точкою мінімума, якщо . Якщо в цій точці , то екстремума в точці немає. У випадку, якщо в точке , теорема відповіді не дає.

* Найбільше і найменше значення функції Означення. Найменше або найбільше значення функції в даній області називається абсолютним екстремумом функції (абсолютним мінімумом або абсолютним максимумом відповідно) в цій

* Відповідно теоремі Вейєрштрасса неперервна в замкнутій області функція дясягає в ній свого найбільшого і найменшого значення. Абсолютний екстремум досягається функцією або в критичних точках, або га границі області.

* Похідна за напрямком Нехай задана диференційована функція скалярного поля u=u(x,y,z) . Похідною цієї функції за напрямком l називаєтся

* Обчислення похідної за напрямком Похідну за напрямком обчислюють за формулою де cosα, cosβ , cosγ-напрямлюючі вектори. Для плоского скалярного поля

* Градієнт скалярного поля Градієнтом скалярного поля u=u(x,y,z), де u=u(x,y,z)-дифференційована функція, називаєтся вектор з координатами . Таким чином, або .

* Приклад: Найти градієнт функции u= в точці M(6,2,3). Розвязок . Обчислимо градієнт функції. Тоді grad u = + +

* Напрямок градієнта Теорема. Похідна функції за напрямком рівна проекції градієнта цієї функції на даний напрямок (у відповідній точці).

* Напрямок градієнта Так як похідна за напрямком представляє собою швидкість зміни функції в даному напрямку, а проекція вектора на інший вектор має максимальне значення, якщо оба вектори співпадають за напрямком, то градієнт функції в даній точці вказує напрямок найбільшого зростання функції.

* Величина градієнта плоского скалярного поля Величина градієнта плоского скалярного поля: grad u = позначається tg і визначає кривизну найбільшого спуску або підйому поверхні u = f (x, y).

* Продовження Градієнт скалярного поля в даній точці по величині і напрямку рівний максимальній швидкості зміни поля в цій точке, тобто. , де .

* Напрямок градієнта Точка Р, в якої gradu(P)=0, називається явною точкою скалярного поля. У протилежному випадку цю точку називають неявною або звичайною точкою поля. Теорема. У всякій неявній точці плоского скалярного поля градієнт поля напрямлений по нормалі до лінії рівня, проходячи через цю точку, у сторону зростання поля

*