Презентація на тему:
Історичний матеріал на уроках математики

Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. звичайні дроби; десяткові дроби; Відсотки.

1. Запис натурального числа Десяткова система числення. Двійкова система числення. П’ятіркова система числення. Інші системи числення. 2. Знаки арифметичних дій 3. Перші лічильні прилади 4. Вимірювання величин

Десяткова система числення виникла в Індії приблизно 1500 років тому. Коли Північну Індію завойовували араби, то найціннішим скарбом , який вони звідти вивезли, були не знамениті індійські тканини, прянощі і дорогоцінні камені, а саме арифметичні відкриття індійських учених.

Великою заслугою арабських вчених була популяризація й поширення десяткової позиційної системи числення в країнах Європи. Абу-Рейхан-Мухаммед ібн-Ахмед аль-Біруні (4.10.973-13.12.1048) Абу-л-Фатх Омар ібн-Ібрахім Хайям (1048-1131)

Її виклав у своєму творі „ Книга про індійський рахунок” видатний таджицький математик астроном і географ аль- Хорезмі Абу Абдалла Мухаммед бен Муса ал- Маджусі ( 787- бл. 850).

Народився цей вчений у Хорезмі, жив і працював при дворі халіфів у Багдаді, де очолював своєрідну академію – „Будинок мудрості”. Від латинізованої форми прізвища ал – Хорезмі походить сучасний термін „ алгоритм”. Назва його праці „ Кітаб ал- джебр ал- мукабала” дала назву великому розділу сучасної математики – алгебрі.

Одна з найдавніших праць з арифметики, яка надійшла до нас, являється підручник „Питання і відповіді” армянського філософа і математика Ананія Ширакаци, який жив у VІІ столітті. У його книзі застосовується десяткова алфавітна нумерація.

Десяткова алфавітна нумерація була поширена і в Київській Русі ( ІХ – ХІІ ст.). Давньославянська алфавітна нумерація була заснована на кирилиці і глаголиці. Найбільшого поширення набула кирилицька нумерація.

Перший математичний твір, який дійшов до нас, - „ Учение им же ведати человеку числа всех лет”. Написаний він Кириком Новгородським ( нар. 1100р. ) і присвячений хронологічним обчисленням.

Давньоруський запис 1054 року на стіні Софіївського собору у Києві, що містить дату 6562.

І все ж найпоширенішою системою числення, до якої в різні часи прийшли практично всі народи, стала десяткова система числення. Зараз її прийнято в усьому світі.

Безперечно, основною причиною вибору саме числа 10 за основу системи числення була наявність у кожної людини її первісного персонального комп’ютера – пальців на руках.

Дуже влучно про це висловився відомий французький математик Анрі Лебег (1875-1941): „Можливо, що якби людина мала одинадцять пальців, то була б прийнята одинадцяткова система числення”.

Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. звичайні дроби; десяткові дроби; Відсотки.

Проте найдавнішою з усіх була, мабуть, лічба парами, тобто по 2. Дуже ймовірно, зокрема, що саме такою двійковою системою числення на початках користувалися давні єгиптяни.

Принаймні, про це свідчать винайдені ними способи множення та ділення чисел, ґрунтуються на послідовному подвоєнні одного з множників та дільника і тому не потребують таблиці множення.

Про практику лічби парами в Давній Русі свідчить те, що у старослов’янській мові поряд з одниною і множиною для відмінювання іменників існувала ще й особлива форма двоїни.

Хто б у ті далекі часи міг подумати, що ця найпримітивніша система числення колись стане „ ”робочою” системою майбутнього дива – комп’ютера!

Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. звичайні дроби; десяткові дроби; Відсотки.

Явно виражену практичну лічбу п’ятірками описав у ХІХ столітті видатний мандрівник Микола Миколайович Миклухо-Маклай (1846-1888 ).

За його свідченням, улюблений спосіб лічби у туземців Нової Гвінеї полягав у тому, що „ папуас загинає один за одним пальці руки, причому вимовляє певний звук, наприклад, „бе, бе, бе” ... Долічивши до п’яти він говорить „ ібон-бе” ( рука ). Потім він загинає пальці другої руки, поки не доходить до „ ібон-алі” ( дві руки ).

Потім іде далі, поки не доходить до „ самба-бе” і „самба-алі” (одна нога, дві ноги). Якщо потрібно рахувати далі, папуас користується пальцями рук і ніг кого-небудь іншого”.

Сліди п’ятіркової системи числення збереглися і в уживаній тепер римській письмовій нумерації. Про це свідчить у цій нумерації індивідуальних знаків для чисел 5, 50, 500 – відповідно V, L і D.

Форма знака V нагадує кисть руки з витягнутими пальцями. А знак Х для числа 10 у цій системі нагадує і об’єднання двох перехрещених рук, і просте об’єднання двох менших знаків для числа V.

Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. звичайні дроби; десяткові дроби; Відсотки.

Вавилонська, хоча спочатку і не послідовно позиційна, шістдесяткова нумерація сформувалася близько ХХХ – ХVІІІ ст. до н.е. Нуль використовували тільки між розрядами і ніколи не ставили, коли запис числа закінчувався одним або кількома нулями.

Єгипетська, ієрогліфічна, чисто адитивна, без знака нуля система виникла близько ХХХ ст. до н.е.

Іонійська алфавітна, непозиційна, без знака нуля виникла близько V ст. до н.е.

У багатьох народів помітні сліди використання дванадцяткової системи числення. Про це свідчить, зокрема, і досі поширена лічба деяких предметів дюжинами ( тобто по 12 ).

Так, наприклад, по 12 штук комплектують олівці і фломастери, кухонні сервізи, стільці. Використовуються також і великі дюжини, або гроси (gross - великий ). Грос налічує 12 по 12, тобто 144 предмети.

Найбільшою ж системою числення з тих, що були у широкому практичному вжитку, виявилася шістдесяткова система давніх вавілонян. Сліди цієї системи, основою якої є лічба групами по 60 одиниць, збереглася у сучасному поділі години на 60 хвилин , а хвилини – на 60 секунд.

Так само діляться на менші частини одиниці вимірювання кутів: градус – на 60 мінут, а мінута – на 60 секунд. Такі точні вимірювання кутів потрібні, наприклад, в астрономії.

І зараз, коли ми пишемо 3год21хв47с, то також використовуємо шістдесяткову систему числення.

Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. звичайні дроби; десяткові дроби; Відсотки.

Для полегшення обчислень у Древньому Вавилоні були створені різні таблиці , у тому числі і таблиці множення. У ряді країн давнього світу застосовувався перший лічильний прилад – абак.

Абак – ( з латинського abacus – лічильна дошка ) – лічильна дошка , яка застосовувалася для арифметичних обчислень у Давній Греції, Римі, потім Західній Європі до 18 ст.

Дошка розділялася на полоси, обчислення відбувалося пересуванням предметів (каменів і т.д. ), які знаходилися у полосах.

У середньовічній Європі використовувалися римські цифри, але оскільки „ працювати” з ними важко, безпосередньо обчислення виконувалися знову - таки на – абаку.

У ХІІ ст. була переведена на латинську мову книга Аль- Хорезмі, завдяки чому з нею познайомилися європейці. З цього часу в Європі почався поступовий перехід на арабські цифри і нову систему числення. Але шанувальники абака не спішили здавати позиції. Нове приживалося дуже важко. Боротьба між абацистами і алгоритмиками закінчилася тільки у 18ст. перемогою нової нумерації.

Абацисти вважають, що абак дав поштовх до введення цифр у Західній Європі.

Французький математик Герберт (бл. 930-1003 ) під час обчислення на абаку використовував спеціальні жетони з написами, зробленими з допомогою ним же винайдених цифр апексів ( від лат. apices – письмена ). Від них, вважають деякі вчені, й походять сучасні цифри.

На Русі за часів Івана ІІІ було винайдено рахівницю. Первісна її форма – дощаний рахунок – мала вигляд дошки або рамки з кульками, нанизаними на шнурки. На ній виконували чотири арифметичні дії з натуральними і дробовими числами.

За вироком інквізиції лічильну машину професора Тюбінгенського університету Вільгельма Шіккарда (1592-1635) було спалено. До нас дійшли тільки авторські рисунки цього чудового винаходу.

Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. звичайні дроби; десяткові дроби; Відсотки.

Сучасні знаки арифметичних дій з’явилися в 15-17ст. „ +” і „ -“ зустрічаються в рукописах 15 ст. Знак „х” ( помножити ) ввів англійський вчений У. Оутред (1574 – 1660 )

У книзі Яна Відмана „ Швидкий і красивий рахунок”, яка була видана в 1494 р. в Лейпцігу, вперше в історії математики було використано знаки „+” та „-”.

Знак „:” і термін „ частка” був введеним Леонардом Пізанським (1202 ); „-” горизонтальна риска У.Джонсоном (1633 ); Терміни „ділення”, „ділене”, „дільник” вперше застосував в кінці 10 ст. Герберт; відповідні російські терміни ввів Л.Ф. Магницький (1703).

Знак „∙” (помножити) ввів німецький математик Г.Лейбніц (1646 – 1716). Він же застосовував „:” для позначення дії ділення.

Речення “Сума чисел два і три дорівнює п'яти “ можна записати різними мовами: російською, французькою, англійською і т. д. Але це речення можна записати таким чином, що воно буде зрозумілим будь-якій людині, в якій би країні вона не жила. Ось цей запис: 2+3=5. Його зрозуміє кожний, адже переклад зроблено математичною мовою.

Як і будь-яка мова, вона має свій алфавіт. Його букви прийнято називати математичними символами ( знаками). Цікаво, математичний алфавіт включає в себе літери латинського і грецького алфавіту . Буквена символіка використовується для позначення точок, відрізків, прямих і кутів. Будь-яка мова розвивається.

Так само й відомі тобі математичні символи у середньовіччі мали зовсім інший вигляд.

Наприклад, у XIV ст. для позначення ”+” використовували букву Р – першу букву латинського слова “plus”. Існує кілька гіпотез походження сучасного знака “+“. Наприклад, вірогідним здається пояснення , що цей знак є скороченим записом латинського слова “et”, що у перекладі означає “і”. Спочатку писали “et”, потім “t” і, нарешті, “+”.

Цікаво, що знак “=“, хоча й з'явився у XVI ст., але міцно укріпився лише у XVIII ст. Це пов'язано з тим, що деякі математики знак рівності використовували для позначення різниці. Наслідуючи французького вченого Рене Декарта, у XVII ст. знак рівності зображували так

Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. звичайні дроби; десяткові дроби; Відсотки.

На вавілонських глиняних табличках і єгипетських папірусах зустрічаються не тільки натуральні числа, але й дроби.

Дроби були потрібні для того, щоб виразити результат вимірювання довжини, маси, площі у випадках, коли одиниця вимірювання не поміщалася в дану величину ціле число разів. Тоді вводили нову, меншу одиницю вимірювання.

Назви цих нових одиниць вимірювання і стали першими назвами дробів. Наприклад, дріб ½ до сих пір називають „половина”; у римлян слово „унція” спочатку було назвою дванадцятої частини одиниці маси, але потім унція стала означати 1/12 частину будь-якої величини.

У Давньому Вавилоні, як ви знаєте, дроби були шестидесятковими , тобто записувалися, наприклад, у вигляді 4; 52; 03. Це означало:

У єгиптян були особливі знаки для дробів 1/2 і 2/3 і загальний спосіб запису для частинок. Всі інші дроби вони записували у вигляді суми частинок. Наприклад,

Запис дробів за допомогою чисельника і знаменника з’явився в Древній Греції, тільки греки знаменник записували зверху, а чисельник - знизу. Велику роботу у розвитку вчення про звичайні дроби зробили індійські математики. У їх працях зустрічаються як основні дроби виду ⅛,⅝ і т. д. , так і похідні від них, тобто дроби з будь-яким чисельником.

Сучасне позначення звичайних дробів (тільки без дробової риски) було прийнято в Індії у VІІІ ст. Рискою для відокремлення чисельника від знаменника користувалися ще Герон Олександрійський (І ст.) – відношення – і Діофант ( ІІІ ст. ).

Потім риска дробу зустрічається в арабського вченого Хассара (ХІІ ст. ), у Леонардо Фібоначчі (ХІІ–ХІІІ ст.), після Леонардо дробова риска стала використовуватися в усіх математичних працях.

Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. звичайні дроби; десяткові дроби; Відсотки.

Десяткові дроби і дії з ними в систематичному вигляді описав середньоазіатський вчений Джемшид Гиясседдін Каши у книзі „Ключ до арифметики” (1427).

Цей математик і астроном працював у Самаркандській обсерваторії Улугбека. Народився в Кашані ( нині Іран ). У книзі „ Ключ до арифметики” вказав прийоми добування коренів, заснованих на застосуванні формули бінома для натурального показника. У „Трактаті про кола” ( бл. 1427 ) обчислив значення числа π з 17 вірними десятковими знаками.

У Європі вчення про десяткові дроби вперше ввів фламандський вчений Симон Стевін у книзі „ Десятина” (1585 ). Він народився у Брюгге. У молодості працював рахівником. Викладав у Лейденському університеті, служив інженером в армії принца Оранського. Крім книги „Десятина”, написав книгу „Математичні коментарії” в 5-томах (1605- 1608 ).

Каші і Стевін записували цілу і дробову частину в одну строку, але без десяткової коми. Наприклад, Каши для відокремлення цілої частини від дробової застосовував вертикальну риску або записував їх різними чорнилами. 12│06 або 12 06

Десяткову кому ввели в користування англійський математик Дж. Непер ( 1550- 1617 ) і німецький астроном І. Кеплер ( 1571- 1630).

Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. звичайні дроби; десяткові дроби; Відсотки.

Із-за того, що в дванадцятковій системі числення немає дробів із знаменником 10 або 100, римляни не могли ділити на 10, 100 і т. д. При діленні 1001 асса ( асс - 1/12 частина) на 100 один римський математик спочатку отримав 10 ассів, потім роздробив асс на унції (дванадцята частина асса ) і т. д. Але від остачі він не позбувся. Щоб не мати справу з такими обчисленнями, римляни стали використовувати відсотки.

Вони брали з боржника надлишок. При цьому говорили: не „лихва составит 16 сотых суммы долга”, а „на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы”. І сказано теж саме, і дробів використовувати не прийшлося! Так як слова „на сто” звучали по-латині „про центум”, то соту частину і стали називати процентом або відсотком (%).

І хоча тепер дроби, а особливо десяткові дроби, відомі всім, відсотки все-таки застосовуються і в фінансових розрахунках, і в плануванні, тобто в різних сферах людської діяльності. А раніше застосовували ще і проміллі – так називали тисячні долі. На відміну від відсотків, які позначаються знаком %, проміллі позначаються ‰.

Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. звичайні дроби; десяткові дроби; Відсотки.

У найдавніші часи міри довжини у різних народів були найрізноманітні. Наприклад, у давньоруських задачах використовувалися такі міри довжини: сажень простий – 152 см , сажень „лікоть” – 108 см , стопа – 76 см, лікоть – 54 см, нога – 27 см, п’ядь мала - 19 см, сажень косий – 216 см, сажень морський – 183 см. Давньоруські міри були пов’язані з різними видами господарської діяльності.

Навіть в одній країні спільних мір не було, тому часто виникали суперечки. Одним з досягнень Великої французької буржуазної революції явилося рішення ввести на території республіки єдину метричну систему мір.

Особливі заслуги у підготовці закону про нові міри належать французькому математику Ж. Лагранжу (1736 – 1813) і політичному діячу П’єру Дювернуа ( 1763 – 1827). В 1792 році було прийнято за одиницю довжини 1/ 10000000 частину чверті паризького географічного меридіана.

Вимірювання частини цього меридіану між містами Дюнкерком і Барселоною майже 6 років проводили двоє французьких вчених – П. Мешем і Ж.Деламбр.

У Росії першим застосував метр за одиницю довжини Н. І. Лобачевский (1792 – 1856 ).

Ініціаторами введення метричної системи мір, як міжнародної, були російські вчені, особливо Б.С. Якобі (1801 – 1874 ).

Дозволу на введення метричної системи міри з великим зусиллям добився в 1889 році Д.І.Менделєєв. Обов’язковою ця система стала тільки після революції 1917року.

Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. звичайні дроби; десяткові дроби; Відсотки.

Послідовники Фалеса, які займалися геометрією, опинилися у тому ж складному становищі, що і всі попередники. Так як до Фалеса ніхто в Греції геометрією не займався, у геометричних фігур не було назв. Греки почали називати фігури словами, які позначали навколишні предмети схожої форми.

Наприклад, ялинкова шишка з грецької означає „конос” . Тому і тіла такої форми отримали назву конуса.

М’яч з грецької має назву сфера. Слово „паралельний” походить від грецького „паралелос” – іти рядом. Від нього вже походить слово „ паралелепіпед” і інші.

Дали назву і частинам площини. У фігури, зображеної на рисунку, дві паралельні сторони. Такий вигляд збоку має стіл. Його спочатку назвали “тетрапеціон” – чотириногий, а потім скоротили до „трапезіон”. Тому фігуру такого виду назвали трапецією.

Деякі назви прийшли до нас з латинської мови. Наприклад, слово „перпендикуляр” по латині „пендула” – маятник. Отже, колись перпендикулярним називали просто вертикальні напрями.

Від латинського „радіус” – промінь, походить слово радіус в геометрії, слово діаметр знову грецьке: воно походить від слів „діа” – два і „метріо” – вимірюю і означає „ділити навпіл”.