Презентація на тему:
Арифметична Прогресія

Арифметична Прогресія Виконали Учні 9 класу Белозор Максим Михайлова Лілія

Означення арифметичної прогресії Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається одне й те ж число. Це число називається різницею арифметичної прогресії і позначається d (d – початкова буква латинського слова differentia – різниця )

Тоді арифметичну прогресію можна задати рекурентною формулою: аn+1 = an + d, звідки d = an+1 - an Приклад 1: 1; 4; 10; 13; 16; 19; 22; … У цій послідовності кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається число 3, тобто d = 3. Приклад 2: -2; -4; -6; -8; -10;… У цій послідовності кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається число -2, тобто d = -2. Наведіть свій приклад арифметичної прогресії

Задача з єгипетського папірусу Ахмеса Райнда Сто мір хліба треба розділити між п’ятьма людьми так, щоб другий отримав на стільки ж більше за першого, на скільки третій отримав більше за другого, четвертий більше за третього і п’ятий більше за четвертого. Окрім того, двоє перших повинні отримати в 7 разів менше ніж троє останніх. Скільки треба дати кожному?

Розв’язання Сто мір хліба треба розділити між п’ятьма людьми, тому S=100,n=5. Кожний отримає більше за попереднього на одне і те ж число, тобто це – арифметична прогресія. Крім того, двоє перших повинні отримати в 7 разів менше, ніж троє останніх, тобто Отримуємо систему рівнянь: Відповідь. або

Формула n – го члена арифметичної прогресії Нехай перший член арифметичної прогресії а1, d – різниця. Тоді за означенням арифметичної прогресії : а2 = а1 + d; а3 = а2 + d = ( а1 + d ) + d = а1 + 2d; а4 = а3 + d = ( а1 + 2d ) + d = а1 + 3d; а5 = а4 + d = ( а1 + 3d ) + d = а1 + 4d. Помічаємо, що у цих формулах коефіцієнт при d на 1 менший від порядкового номера члена прогресії. Отже можна записати: аn = а1 + ( n -1 ) d - формула n – го члена арифметичної прогресії.

Застосування формули n – го члена для знаходження довільного її члена Приклад: Знайти дев′ятий член арифметичної прогресії ( аn ): 5; 4,2; 3,4; … Розв’язання: Маємо: а1 = 5. Знайдемо різницю прогресії: d = 4,2 – 5 = - 0,8. Тоді а9 = а1 +8d, а9 = 5 + ( - 0,8 ) ∙ 8 = - 1,4. Завдання: Знайти вісімнадцятий член арифметичної прогресії: 1; 1,3; 1,6;…

Застосування формули n – го члена для знаходження її першого члена Приклад: Знайти перший член арифметичної прогресії ( аn ), у якій d = - 2, а8 = 93. Розв’язання: Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії для n = 8: а8 = а1 + 7d і підставимо відомі значення: 93 = а1 + 7 ∙ ( – 2 ), 93 = а1 – 14, а1 = 93 + 14, а1 = 107. Завдання: Знайти перший член арифметичної прогресії, якщо її різниця дорівнює 0,5, а дев’ятий член 3.

Застосування формули n – го члена для знаходження різниці арифметичної прогресії Приклад: Знайти різницю арифметичної прогресії ( аn ), у якій а1 = 10, а5 = 22. Розв’язання: Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії для n = 5: а5 = а1 + d( n – 1 ) і підставимо відомі значення: 22 = 10 + d ∙ 4, 4d = 22 – 10, 4d = 12, d = 3. Завдання: Знайти різницю арифметичної прогресії ( аn ), у якій а1 = 28, а15 = - 21

Застосування формули n – го члена для знаходження номера її члена Приклад: Чи є число 181 членом арифметичної прогресії, у якій а1 = 3, d = 5? Розв’язання: Число 181 буде членом прогресії, якщо існує таке натуральне число n - порядковий номер члена прогресії, що аn = 181. Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії: аn = а1 + ( n -1 ) d 181 = 3 + ( n – 1 ) ∙ 5, 181 = 3 + 5n – 5, 181 = 5n – 2, 5n = 181 + 2, 5n = 183, n = 36,6. Число 36,6 не є натуральним, тому число 181 не є членом арифметичної прогресії.

Дякуємо за увагу!

В презентації були використані Інтернет матеріали