Презентація на тему:
ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ

ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ

ПЛАН ЗАГАЛЬНА ІНФОРМАЦІЯ ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ ДВОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ

ЗАГАЛЬНА ІНФОРМАЦІЯ Дисперсійний аналіз був створений спочатку для статистичної обробки агрономічних дослідів. В наш час його також використовують як в економічних експериментах, так і технічних, біологічних та соціальних. Сутність цього аналізу полягає в тому, що загальну дисперсію досліджуваної ознаки розділяють на окремі компоненти, які обумовлені впливом певних конкретних чинників. Істотність їх впливу на цю ознаку здійснюється методом дисперсійного аналізу.

ЗАГАЛЬНА ІНФОРМАЦІЯ Відповідно до дисперсійного аналізу будь-який його результат можна подати у вигляді суми певної кількості компонент. Так, наприклад, якщо досліджується вплив певного чинника на результат експерименту, то модель, що описує структуру останнього, можна подати так: де — значення ознаки Х, одержане при i-му експерименті на j-му рівні фактора. ( 1 )

ЗАГАЛЬНА ІНФОРМАЦІЯ Під рівнем фактора розуміють певну його міру. Наприклад, якщо фактором є вітаміни, які вживають з метою підвищення імунітету людського організму, то рівнем фактора в цьому разі є кількість вітамінів, що вживаються;   — загальна середня величина ознаки Х; — ефект впливу фактора на значення ознаки Х на j-му рівні; — випадкова компонента, що впливає на значення ознаки Х в i-му експерименті на j-му рівні.

ЗАГАЛЬНА ІНФОРМАЦІЯ При цьому і як випадкові величини мають закон розподілу ймовірностей і між собою незалежні ( ). Складнішою моделлю аналізу є вивчення впливу на результати експерименту кількох факторів. Зокрема при аналізі впливу двох факторів структура моделі набуває такого вигляду: ( 2 )

ЗАГАЛЬНА ІНФОРМАЦІЯ де — значення ознаки Х в i-му експерименті на j-му рівні впливу фактора А і на k-му рівні впливу фактора В; — загальна середня величина ознаки Х; — ефект впливу фактора А на i-му рівні; — ефект впливу фактора B на j-му рівні; — ефект одночасного впливу факторів А і В; — випадкова компонента.

ЗАГАЛЬНА ІНФОРМАЦІЯ У разі проведення дисперсійного аналізу досліджуваний масив даних, одержаних під час експерименту, поділяють на певні групи, які різняться дією на результати експерименту певних рівнів факторів. Вважається, що досліджувана ознака має нормальний закон розподілу, а дисперсії в кожній окремій групі здобутих значень ознаки однакові. Ці припущення необхідно перевірити.

ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ Нехай потрібно дослідити вплив на ознаку Х певного одного фактора. Результати експерименту ділять на певне число груп, які відрізняються між собою ступенем дії фактора. Для зручності в проведенні необхідних обчислень результати експерименту зводять в спеціальну таблицю:

Таблиця 1

ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ Відповідно до моделі однофакторного дисперсійного аналізу необхідно визначити дві дисперсії, а саме: міжгрупову (дисперсію групових середніх), зумовлену впливом досліджуваного фактора на ознаку Х, і внутрішньогрупову, зумовлену впливом інших випадкових факторів.

ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ Загальна дисперсія розглядається як сума квадратів відхилень: Тоді поділ загальної дисперсії на компоненти здійснюється так:

ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ

ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ

ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ Таким чином, дістаємо: ( 3 ) Для того щоб мати виправлені дисперсії, необхідно кожну зі здобутих сум поділити на число ступенів свободи. Так, для загальної дисперсії

ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ виправлена дисперсія дорівнюватиме ( 4 )

ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ Виправлена дисперсія , що характеризує розсіювання всередині групи, зумовлене впливом випадкових факторів, обчислюється за формулою: де є числом ступенів свободи для , оскільки при цьому використовується р співвідношень при обчисленні групових середніх ( 5 )

ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ Виправлена дисперсія , що характеризує розсіювання групових середніх відносно загальної середньої , яке викликане впливом фак тора на результат експерименту ознаки Х, обчислюється за формулою: ( 6 ) де — це число ступенів свободи для , оскільки групові середні варіюють відносно однієї загальної середньої .

ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ За статистичний критерій вибирається випадкова величина ( 7 ) що має розподіл Фішера—Снедекора з , ступенями свободи За значеннями , , , знаходимо критичну точку ( у додатку ” КРИТИЧНІ ТОЧКИ РОЗПОДІЛУ ФІШЕРА (F-РОЗПОДІЛУ)”).

ОДНОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ Якщо , то нульова гіпотеза про вплив фактора на результати досліджень відхиляється, а коли , то цим самим підтверджується вплив фактора на ознаку Х. Результати спостережень та обчислення статистичних оцінок зручно подати в упорядкованому вигляді за допомогою табл. 2.

Приклад. Ступінь впливу каталізатора на кінцевий продукт заданої хімічної реакції, наведеної в таблиці. З’ясувати, чи істотно впливає каталізатор на кінцевий продукт хімічної реакції при  = 0,001.

Розв’язання. Використовуючи табл. 2 і виконавши відповідні обчислення, дістанемо

Висновок. Оскільки , то вплив каталізатора на кінцевий продукт хімічної реакції є істотним.

ДВОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ Нехай необхідно визначити вплив двох факторів А і В на певну ознаку Х. Для цього необхідно, щоб дослід здійснювався при фіксованих рівнях факторів А і В, а також їх одночасній дії на ознаку. При цьому дослід здійснюватимемо n раз для кожного з рівнів факторів А і В.

ДВОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ Позначимо через конкретне значення ознаки Х, якого вона набуває при i-му експерименті, j-му рівні фактора A і k-му рівні фактора В. Результат експерименту зручно подати у вигляді таблиці, яка поділена на блоки, в кожному з яких ураховується на певних рівнях факторів А і В їх вплив на конкретні значення ознаки (табл. 3).

ДВОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ середнє значення ознаки Х для кожного блока визначається за формулою середнє значення ознаки Х за стовпцями - ( 8 ) ( 9 )

ДВОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ середнє значення ознаки Х за рядками - ( 10 ) загальна середня ознака Х - ( 11 )

ДВОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ виправлена дисперсія, яка зумовлена впливом фактора А на ознаку Х - ( 12 ) виправлена дисперсія, яка зумовлена впливом фактора В на ознаку Х - ( 13 )

ДВОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ виправлена дисперсія, яка зумовлена одночасним впливом на ознаку Х факторів А і В обчислюється за формулою: ( 14 ) виправлена дисперсія, яка зумовлена впливом на ознаку Х інших, не головних факторів - ( 15 )

ДВОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ спостережувані значення критерію обчислюються: При рівні значущості визначають критичні точки:

ДВОФАКТОРНИЙ ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ 1) , то нульова гіпотеза про відсутність впливу фактора А відхиляється; 2) , то нульова гіпотеза про відсутність впливу фактора В відхиляється; 3) , то нульова гіпотеза про відсутність спіль ного впливу факторів А і В відхиляється.

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!