Презентація на тему:
"Теорема про три перпендикуляри"

Геометрія Теорема про три перпендикуляри Робота учениці 10-А класу Баранюк Надії

Відрізок АВ - перпендикуляр, точка В — основа цього перпендикуляра. Будь-який відрізок АС, де С — довільна точка площини α, відмінна від В, називається похилою до цієї площини. Узагальнююче повторення Перпендикуляр і похила

Властивості проекції 1. Перпендикуляр, проведений з даної точки до площини, менший будь-якої похилої, проведеної з тієї ж точки доцієї площини. 2. Якщо похилі рівні, то рівні і їх проекції; 3. Якщо проекції похилих рівні, то рівні і похилі; 4. Якщо похилі не рівні, то більша похила має і більшу проекцію.

Відстань від точки до площини Довжина перпендикуляра, проведеного з точки А до площини α, називається відстань від точки А до площини α.

α a A b c d Означення прямої, перпендикулярної до площини: Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить в цій площині.

α a A b c Якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, та лежать у площині, то вона перпендикулярна і самій площині. Ознака перпендикулярності прямої та площини:

α A Перпендикуляр, похила, проекція похилої на площину: В М АВ - перпендикуляр МА - похила МВ - проекція

М α А В Завдання: а Пряма a – похила до площини α. Вона перетинає площину в точці М. Побудувати проекцію цієї похилої на площину α.

Нехай АВ – перпендикуляр до площини , АС – похила, ВС – проекція похилої m – пряма в площині , проведена через основу С похилої. Вивчення нового навчального матеріалу Теорема про три перпендикуляри

α A Теорема про три перпендикуляри В М а Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до самої похилої

α A Теорема (обернена до теореми про три перпендикуляри): В М а Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Теорема про три перпендикуляри та обернена до неї. Висновки 1). Якщо с ВС, то с АС 2). Якщо с АС, то с ВС

Первинне закріплення вивченого матеріалу Задача. Відстань від точки М до кожної зі сторін ромба дорівнює 10 см, а до площини ромба – 8 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в ромб. Розв'язання Нехай АВСD – ромб. МК=МР=МЕ=MF=10 см, МО=8 см. За означенням, відстані МК АВ, МР ВС, МЕ CD, MF AD. K E P M D С В А F O

Первинне закріплення вивченого матеріалу За теоремою про три перпендикуляри ОК АВ, ОР ВС, ОЕ CD, OF AD. Оскільки відстані від точки М до сторін ромба рівні, то відрізки ОК, ОР, ОЕ, OF також рівні як проекції рівних похилих. Звідси точка О - основа перпендикуляра МО – є центром кола, вписаного в ромб. Із прямокутного трикутника МОК знайдемо радіус цього кола:

Висновок 1 Якщо т. А однаково віддалена від усіх сторін многокутника, то основа перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини многокутника, також однаково віддалена від його сторін, тобто є центром вписаного в многокутник кола.

Дві прямі, що перетинаються, в просторі визначають єдину площину, тому кут між цими прямими визначається як і на площині. а в Менший із кутів, утворених при перетині двох прямих, називається кутом міжу даними прямими. Кут між двома прямими, що перетинаються не може не може бути більшим 900 . Якщо прямі паралельні, то величина кута між ними вважається рівним 00. М

Нехай дано площину і пряму а, яка її перетинає і не перпендикулярна до площини . Основи перпендикулярів, проведених з точок прямої а до площини , лежать на прямій b. Ця пряма називається проекцією прямої а на площину . Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її проекцією на площину. b а

Побудова кута між прямою і площиною т n K Пряма n – проекція прямої m на площину Р – довільна точка прямої m PF n PKF = - кут між прямою m і площиною P F

Закріплення вивченого матеріалу Визначте взаємне розміщення прямих а і b на кожному малюнку

На малюнках пряма а1 – проекція прямої а на площину . На якому з малюнків кут є кутом між прямою а і площиною ?

1). Діагоналлю DC1 грані DD1C1C і площиною основи ABCD 2). Діагоналлю B1D куба і площиною основи ABCD 3). Діагоналлю B1D і площиною грані DD1C1C. ABCDA1B1C1D1 – назвіть кут між:

Задача 410 AF – перпендикуляр до площини трикутника АВС. AD – його висота. Доведіть, що DF ВC

У рівнобедреному трикутнику АВС основа ВС=12 см, бічна сторона дорівнює 10 см. З вершини А проведено перпендикуляр АD до площини АВС, АD=6 см. Знайти відстань від точки D до сторони ВС. B А С D Н Відповідь: 10 см

Довести, що якщо точка рівновіддалена від усіх вершин многокутника, то вона проектується на його площину у центр описаного кола. M A B C D E O Дано: МА=МВ=МС=МD. МО . Довести: О – центр описаного кола Доведення Ми доведемо, що О – центр кола, описаного навколо многокутника, якщо доведемо, що точка О – рівновіддалена від вершин А, В, С, … Для цього проведемо відрізки ОА, ОВ, ОС, … і порівняємо їх. ОА=ОВ=ОС=… (як проекції рівних похилих МА, МВ, МС, …), отже, О – центр описаного кола

Якщо точка рівновіддалена від усіх вершин многокутника, то основою перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину многокутника, є центр кола, описаного навколо даного многокутника. Висновок 2