Презентація на тему:
Теорема множення та додавання

Тема: “Теорема множення та додавання” Виконали: Суходавченко О., Швиненко В., Свірський А.

План: Теорема множення для залежних подій Теорема множення для незалежних подій Теорема додавання для сумісних подій Теорема додавання для несумісних подій

Теорема множення для залежних подій. ОЗН. Умовною ймовірністю називається ймовірність появи події В за умови, що відбулася подія А. Умовна ймовірність позначається РА(В)

Приклад У ящику знаходяться три білі і дві чорні кулі. Виймають одну кулю (перше випробування), а потім другу (друге випробування). Першою дістали білу кулю (подія А). Знайти ймовірність появи білої кулі (подія В) у другому випробуванні, якщо першу кулю перед другим випробуванням назад у ящик: а) повернули; б) не повернули.

Розв’язання: а) при поверненні білої кулі в ящик їх знову буде три при загальній кількості п'ять куль. Умови в ящику не змінились, тому подія В не залежить від події А: р(В)=3/5; б) вилучену білу кулю не повертають у ящик, тому у ньому буде чотири кулі, з яких дві білих. Умови в ящику змінились, тому подія В залежить від появи події А. Маємо умовну ймовірність: рА(В)=2/4=1/2

Теорема: Ймовірність сумісної появи двох випадкових подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої за умови, що перша подія відбулася: Р(АВ)=р(А).РА(В)=Р(В).РВ(А). Наслідок: умовна ймовірність появи події В за умови, що подія А відбулася, визначається за формулою:  РА(В)=Р(АВ)/Р(А)

Приклад Для деякої місцевості середнє число хмарних днів у липні дорівнює шести. Знайти ймовірність того, що першого та другого липня буде ясна погода.

Розв'язання: Подія А – першого липня буде ясна погода. У липні 31 день, а ясних днів – 25. тому: Р(А)=25/31. Подія В – другого липня буде ясна погода за умови, що погода першого липня також була ясною, має умовний характер. Лишилося у липні 30 днів, з яких шість хмарних, тому ясних днів буде 24. Отже, РА(В)=24/30=4/5. ймовірність сумісної появи події А і В: Р(АВ)=(25/31).(4/5)=20/31.

Теорема множення для незалежних подій. Ймовірність добутку незалежних подій (одночасної появи) дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р(АВ)=Р(А).Р(В).

Приклад Ймовірність виходу з ладу верстата протягом зміни дорівнює 0,1. знайти ймовірність безвідмовної роботи двох верстатів протягом зміни.

Розв'язання Якщо ймовірність поломки дорівнює 0,1, то ймовірність безвідмовної роботи буде 1-0,1=0,9. станки виходять з ладу незалежно один від одного, тому р(А)=р(В)=0,9. за теоремою множення маємо: Р(АВ)=Р(А).Р(В)=0,9.0,9=0,81.

Теорема Ймовірність сумісної появи незалежних у сукупності подій А1А2…Аn, дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р(А1А2…Аn)=р(А1) .р(А2) . … .р(Аn)

Приклад У першій п'ятірці студентів, що прийшли на іспит, підготовлені до іспиту: перший студент – на 70%, другий – на 80%, третій – на 60%, четвертий і п'ятий – на 90%. Знайти ймовірність успішного складання іспиту цією п'ятіркою студентів.

Розв'язання Нехай Аі – ймовірність успішного складання іспиту і-тим студентом. Події незалежні між собою. Тоді Р(А1А2А3А4А5)=0,7.0,8.0,6.0,9.0,9= =0,27216.

Теорема додавання для сумісних подій. Якщо випадкові події А і В сумісні, то: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Приклад Перший студент підготував до заліку 80% матеріалу, а другий – 90%. Знайти ймовірність складання заліку одним із студентів

Розв'язання За умовою Р(А)=0,8, Р(В)=0,9. Події сумісні і незалежні. Тоді Р(А+В)=0,8+0,9-0,8.0,9=1,7-0,72=0,98.

Теорема додавання для несумісних подій. Якщо події несумісні, то разом вони трапитись не можуть, тобто для несумісних подій Р(АВ)=0.

Теорема Якщо випадкові події А і В сумісні, то: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Приклад З колоди карт витягнуто одну. Яка ймовірність, що обрана карта туз або дама? Розв'язання Подія А – витягнуто туз. Подія В – витягнуто даму. Р(А)=4/36=1/9; Р(В)=4/36=1/9. Тоді: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=1/9+1/9=2/9