Презентація на тему:
Розв'язування квадратних рівнянь

Проектна робота “Способи розв’язування квадратних рівнянь” Підготували учні 8 класу Лукашик В. Фартушна Т. Янєв В.

1.Означення квадратного рівнян- ня. 2. Види квадратних рівнянь. 3. Історичні відомості. 4. Способи розв’язування квад- ратних рівнянь. Зміст

Квадратним рівнянням називається рівняння виду ax2+bx+c=0, де x-змінна, a,b,c-деякі числа, причому a≠0. a; b; c – коефіцієнти квадратного рівняння, a – перший або старший коефіцієнт, b – другий коефіцієнт, C – вільний член. Наприклад: -3x2+7x-4=0; 2x2-32=0; 3x2-12x=0; Будь-яке квадратне рівняння має: або два дійсних корені; або два однакові корені (тобто, по суті, один); або взагалі не має дійсних коренів. Означення

Види квадратних рівнянь Повні квадратні рівняння Зведені квадратні рівняння Неповні квадратні рівняння b=c=0 b=0, c c=0, b

Історичні відомості Квадратні рівняння вміли розв’язувати вавілоняни близько 2000 років до н. е. відомо, що їхні методи розв’язання майже збігаються із сучасними. Проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до того часу клинописних текстах збереглися лиш вказівки до знаходження коренів рівнянь і немає ані найменшої згадки про від’ємні числа і про загальні методи розв’язування рівнянь. В стародавній Греції квадратні рівняння розв’язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов’язувалися з геометрією, вперше наводить Діафант Александрійський у ІІІст.

У своїх книгах “Арифметика” він наводить приклади розв’язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв’язування повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися. Загальне правило розв’язування квадратних рівнянь було сформульоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 – 1567). Виводом формули загального розв’язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жираре (1595 – 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв’язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Способи розв’язування квадратних рівнянь 1сп. За загальною формулою ax2+bx+c=0, a≠0. Обчислюємо значення дискримінанта, таким для нього є вираз D 0 D=0 D 0 Рівняння має два корені x1,2= Рівняння має один корінь x=- Рівняння немає коренів на множині дійсних чисел

2сп. Корені квадратного рівняння, якщо другий Коефіцієнт парне число ax2+bx+c=0, a≠0, b=2k, Формули значно спрощуються: D 0 D=0 D 0 Коренів немає

3 сп. Розв’язування неповних квадратних рівнянь 1)c=0, b 2)b=0, c 3)b=c=0 x(ax+b)=0 x=0,абоax+b=0 ax=-b x=-b/a Відповідь:x1=0, x2=-b/a А) Б) коренів. немає Звідси: Відповідь:

4сп. Використання окремих випадків співвідношень коефіцієнтів 1) Корені квадратного рівняння в якому сума старшого коефіціента і вільного члена дорівнюе другому коефіціенту. Якщо у квадратному рівнянні .Наприклад: 25 x2+42x+17=0 Виконуються умови: a+c=b, 25+17=42, то x1=-1; x2=- Відповідь:-1;-

2)Якщо у квадратному рівнянні , a+b+c=0, то коренями такого рівняння буде число 1 і число Наприклад a=17, b=16 c=-33 Виконується умова: a+b+c=0, 17+16-33=0 Тому x1=1; x2= Відповідь: 1; Корені квадратного рівняння, сума всіх коефіціентів якого дорівнюе нулю.

5сп. Використання формули квадрата . суми (різниці) Якщо ліва частина квадратного рівняння має вигляд то за формулою квадрата суми (різниці) можемо записати Наприклад:

6сп. За допомогою прямої і оберненої теореми Вієта. За теоремою Вієта будь-яка пара чисел є коренями рівняння Підбирають усно числа, які є коренями рівняння допоможе пряма теорема Вієта. За її допомогою можна визначити знаки коренів, не знаючи самих коренів. що є розв’язком системи :

Побажання: Рівняння-це не просто рівність З однією змінною чи кількома . Рівняння-це думок активність , Це інтелекту боротьба. То ж будьте творчими, активно розвивайтесь, Долайте труднощі у своєму житті, Але з рівняннями ,прошу не розлучайтесь, Вони послужать вам ще в майбутті.