Презентація на тему:
"Інтеграл та його застосування"

Інтеграл та його застосування

Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального обчислення Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального обчислення пов’язана з потребою в обчисленні площ фігур, а також поверхонь і об’ємів довільних тіл. Передісторія інтегрального обчислення сягає глибокої давнини: ідеї інтегрального обчислення можна знайти в роботах давньогрецьких учених Евдокса Кнідського (бл.408-355 до н.е.) і Архімеда (бл.287-212 до н.е.). *

Короткі історичні відомості Поняття інтеграла та інтегральне обчислення виникло через необхідність обчислювати площі будь-яких фігур і поверхонь та об'ємів довільних тіл. Символ увів Лейбніц у 1686 році. Отож, інтеграл — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. *

* Диференціювання функції f(x) – операція знаходження її похідної . Наприклад. Знайти похідну функції: а) ; б) . Розв’язання а) ; б) . Знаходження функції f(x) за даною її похідною називається операцією інтегрування. Операція інтегрування обернена до операції диференціювання. Наприклад. а) Якщо , то , оскільки . б) Якщо , то , оскільки . Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на даному проміжку, якщо для будь-якого х з цього проміжку Наприклад. Функція - первісна для функції на проміжку , оскільки при *

Основна властивість первісних Якщо функція F(x) є первісною для функції f(x) на даному проміжку, а С – довільна стала, то функція F(x)+С також є первісною для функції f(x), при цьому будь-яка первісна для f(x) на даному проміжку може бути записана у вигляді F(x)+С, де С– довільна стала. Вираз F(x)+С - загальний вигляд первісної для функції f(x). Наприклад. Якщо - первісна для функції на проміжку , то первісною для функції на проміжку є функція , де С – довільна стала, оскільки Геометричний зміст основної властивості первісних Графіки всіх первісних для даної функції f(x) одержується з будь-якого з них шляхом паралельного перенесення вздовж осі Оу. Сукупність усіх первісних даної функції f(x) називається невизначеним інтегралом. Позначається: ; тобто , де F(x) – одна з первісних для функції f(x), С – довільна стала. - знак інтеграла, f(x) підінтегральна функція, f(x)dx – підінтегральний вираз. Наприклад. а) , оскільки - первісна функції б) , оскільки - первісна для функції *

* Таблиця первісних (невизначених інтегралів) Функція f(x) Загальний вигляд первісних F(x)+С, де С - стала Запис за допомогою невизначеного інтеграла 0 С 1 х+С *

Правила знаходження первісних (правила інтегрування) 1. Якщо F - первісна функції , а G – первісна функції , то F+ G – первісна функції Наприклад. Знайти первісну для функції: а) ; б) . Розв’язання а) ; б) . Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів від доданків, тобто Наприклад. Обчислити: а) ; б) . Розв’язання а) б) *

Правила знаходження первісних (правила інтегрування) 2. Якщо F - первісна функції , а k і b – сталі, то kF – первісна для функції . Наприклад. Знайти первісну для функції: а) ; б) Розв’язання а) ; б) Сталий множник виноситься за знак інтеграла, тобто , де k – стала. Наприклад. Обчислити: а) ; б) . Розв’язання а) б) *

Правила знаходження первісних (правила інтегрування) 3. Якщо F - первісна функції , а k і b – сталі , то - первісна для функції . Наприклад. Знайти первісну для функції: а) ; б) . Розв’язання а) ; б) . Наприклад. Обчислити: а) ; б) . Розв’язання а) б) *

Криволінійна трапеція та її площа Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком невід’ємної на відрізку функції, віссю Ох і прямими x=a і x=b. Наприклад. Теорема. Нехай - непарна і невід'ємна на відрізку функція, а S – площа відповідної криволінійної трапеції. Якщо - первісна для на інтервалі, що містить відрізок , то . Наприклад. Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями: , , x=0, . Розв’язання - синусоїда; - вісь Ox; x=0 – вісь Оу; - пряма, що проходить через точку паралельно осі Оу. Для функції первісною є a=0, b = . Нехай S - шукана площа, тоді . (кв. од.) Відповідь: 2 кв. од. *

Визначений інтеграл - неперервна на проміжку І; - первісна для на проміжку І; - приріст первісної. Число називається визначеним інтегралом від a до b від функції , , Позначається: *

Формула Ньютона - Лейбніца Основні властивості визначених інтегралів 2) , (k – стала); 1) - підінтегральна функція; - підінтегральний вираз; a - нижня межа інтегрування; b - верхня межа інтегрування; x – змінна інтегрування. *

Обчислення об’ємів за допомогою визначеного інтеграла Нехай криволінійна трапеція обмежена зверху графіком функції , яка неперервна і невід’ємна на відрізку , віссю Ох і прямими x=a і x=b. Внаслідок обертання цієї криволінійної трапеції навколо осі Ох утворилося тіло, об’єм якого можна обчислити за формулою: Наприклад. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями: , , , . Розв’язання - вісь Ох; - пряма, що проходить через точку (1;0) паралельно осі Оу; - пряма, що проходить через точку (2;0) паралельно осі Оу; - парабола. а =1, b=2 – межі інтегрування. (куб. од.) Відповідь: куб. од. х -2 -1 0 1 2 у 4 1 0 1 4 *

Застосування в економіці й техніці Обчислення об'ємів тіл Обчислення відстані за відомим законом зміни швидкості Обчислення роботи змінної сили та потужності Обчислення кількості електрики та кількості теплоти *

Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед. Одного разу, прийшовши із рибалки, Архімед захотів визначити найбільш точно площу поверхні риби. *

Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі. *

*

1. Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості. *

Розв'яжемо задачу: Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю, яка змінюється за законом v=2t+1(м/с). Знайти шлях, який пройшло тіло за інтервал часу від t 1 =1c, до t2 =3c. *

2. Обчислення роботи змінної сили. *

Розв'яжемо задачу: Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м, що має квадратний переріз із стороною 2м. Густина води ρ=103 кг/м3 . *

3. Обчислення маси неоднорідного стержня. *

Розв'яжемо задачу: Знайти масу стержня завдовжки 35см, якщо його лінійна густина змінюється за законом ρ(l)=(4l+3)(кг/м) *

4. Обчислення кількості електрики. *

Розв'яжемо задачу: Знайти кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10с, якщо сила струму змінюється за законом I(t)=(4t+1)(A) *

ІНТЕГРАЛ В ЕКОНОМІЦІ Загальний прибуток за час t1 можна знайти за формулою: *

ІНТЕГРАЛ В БІОЛОГІЇ Середня довжина шляху, який пролітають птахи, перетинаючи деяку фіксовану ділянку, обчислюється за формулою: *

ІНТЕГРАЛ В ПОБУТІ Щоб каша була смачною, потрібно таке відношення води і круп: *

Приклад 1 Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається формулою f(t)= -0.0033t2 - 0.089t + 20.96, де t — робочий час у годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі — 62. Розв'язання. Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці. Тому . Протягом кварталу обсяг випуску продукції становитиме: =62(-0.001∙512 -2.848 + 167.68) = 62∙164.27≈  10185 (од.). *

 Приклад 2 Експериментальне встановлено, що залежність витрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q = 18 - 0,3v +0,003v2, де 30 ≤ v ≤110. Визначити середню витрату бензину, якщо швидкість руху 50 - 60 км/год. Розв'язання. Середня витрата бензину становить = 1/10(18∙60-0.3∙1800+0.003∙72000-18∙50-0.3∙1250-0.003∙41667) = = 1/10(1080-540 + 216-900 + 375- 125) = 10,6 (л). Отже, автомобіль на 100 км шляху, рухаючись зі швидкістю 50 - 60 км/год, витрачає в середньому 10,6 л бензину. *

Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м., що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води ρ=103кг/м3. Розв'язання: Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(x), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м2, визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже *

*

*

*

*

*