Презентація на тему:
Математика XIX ст. Творчі здобутки Гауса, Пуанкаре, Фур'є, Коші»

Вінницький державний педагогічний університет ім. Михайла Коцюбинського інститут математики, фізики і технологічної освіти ТВОРЧА РОБОТА «Математика XIX ст. Творчість Гауса, Пуанкаре, Фур'є, Коші» Виконала Білохвостикова О.Ю.

ПЛАН Загальний розвиток математики XIX ст. Жан Батист Жозеф Фур'є. Його внесок в науку Карл Фрідріх Гаус. Його праці Анрі Пуанкаре. Внесок у науку Оґюстен-Луї Коші. Наукова діяльнісь

МАТЕМАТИКА - це наука про кількісні співвідношення і просторові форми дійсного світу (Фрідріх Енгельс, «Анти-Дюрінг»). Математика виникла з давніх-давен з практичних потреб людини, її зміст і характер з часом змінювались. Від початкового предметного уявлення про ціле додатне число, від уявлення про відрізок прямої, як найкоротшу віддаль між двома точками. Математика пройшла довгий шлях розвитку, перш ніж стала абстрактною наукою з точно сформованими вихідними поняттями і специфічними методами дослідження. Нові вимоги практики, розширюють обсяг понять математики, наповнюють новим змістом старі поняття.

Період XIX ст. у математиці є періодом дослідження змінних величин. Природознавство і техніка дістали новий метод вивчення руху і зміни — диференціальне числення та інтегральне числення. Створився ряд нових математичних наук — теорія диференціальних рівнянь, теорія функцій, диференціальна геометрія, варіаційне числення та ін., що значно розширили предмет і можливості математики

ЖАН БАТИСТ ЖОЗЕФ ФУР'Є 1768-1830

БІОГРАФІЯ Жан Батист Жозеф Фур'є народився в місті Осер, в сім'ї кравця. Він залишився круглим сиротою у восьмирічньому віці. Якась пані, «помітивши в ньому дарування і ніжність не по стану», поклопоталася про нього, давши хорошу рекомендацію місцевому єпископу. Той направив хлопчика у військову школу, якою тоді керували бенедиктинці конгрегації св. Марка. Жан Батист проходив навчання з дивовижною легкістю і швидкістю, а закінчивши школу, залишився там викладачем.

Фур'є брав участь у революції і отримав місце у Вищій нормальній школі при її утворенні в 1794. У 1796 році очолив кафедру математичного аналізу в знаменитій Політехнічній школі, причому його лекції відрізнялися відточенністю і витонченістю стилю. У 1798 році Фур'є разом з Гаспаром Монжем і Бертолле взяв участь в Єгипетській експедиції Наполеона і намагався виробити рекомендації з удосконалення землеробства й іригаційної техніки Єгипту. Його дипломатичний дар і уміння встановлювати дружні стосунки з арабами допомогли у ряді випадків уникнути кровопролиття. Фур'є став секретарем Єгипетського іституту, заснованого Наполеоном під час кампанії.

У 1817 Фур'є був обраний членом Французької академії наук, постійним секретарем якої він став у 1822 після смерті Деламбра. У 1826 Фур'є став членом Французької академії. У 1823 його було обрано іноземним членом Лондонського королівського товариства. Найвизначніша праця Фур'є «Аналітична теорія тепла» (Théorie analytique de la chaleur) була надрукована у 1822.

ВНЕСОК У НАУКУ ФУР’Є Накову роботу Фур'є характеризували працьовитість і методичність. Розв'язуючи задачу про розповсюдження тепла він виходив із закону охолодження тіл Ньютона, за якою потік тепла між тілами при теплообміні пропорційний різниці їхніх температур. Це припущення дозволило Фур'є записати рівняння: де q - потік тепла, T - температура, а k - певний коефіцієнт пропорційності. Це рівняння отримало назву закону Фур'є.

Виходячи з цього рівняння, Фур'є отримав диференціальне рівняння теплопровідності і взявся шукати його розв'язок методом розділення змінних, задаючи різні граничні умови. Загалом інтуїція цінується вище методичності — якщо шлях вибраний невірно, працьовитість піде даремно. Фур'є рушив точно. Він став представляти математичні функції тригонометричними рядами, які згодом стали називати рядами Фур'є. Іншим важливив внеском Фур'є в фізичну науку був аналіз розмірностей. Фур'є зазначив, що рівняння, яке описує фізичний закон, повинно мати одинакову розмірність у правій та лівій частині, і цей факт можна використати для отримання якісних результатів.

Фур'є вважається першовідкривачем парникового ефекту. За його підрахунками кількість сонячного тепла, яке отримує Земля, недостатня для пояснення температури її поверхні. Він проаналізував можливі джерела додаткового тепла, опублікувавши свої результати в 1824 та 1827 роках.

Серед інших причин додаткового нагрівання, Фур'є назвав також явище аналогічне підвищенню температури в ящику, накритому склом, виявлене експериментально Орасом-Бенедиктом де Сосюром. Фур'є припустив, що гази в атмосфері утворюють стабільний шар, аналогічний склу. Це пояснення неправильне, виходячи з сучасного розуміння ефекту, однак воно було кроком у потрібному напрямку.

КАРЛ ФРІДРІХ ГАУС 1777-1855

БІОГРАФІЯ Карл Фрідріх Ґаус народився 30 квітня 1777 р. у Брауншвейгу — одному з німецьких князівств, які на той час ще не були об’єднані в єдину централізовану державу. Батько Карла спочатку працював слюсарем, а згодом став садівником, суміщаючи це заняття з обов'язками рахівника в торговельній конторі якогось купця. Читати і писати Карл навчився сам: йому досить було знати лише кілька букв, підказаних матір’ю, щоб цілком оволодіти технікою читання. Вже в ранньому дитинстві у хлопчика виявились особливі здібності до математики.

У 1784 р. Карла віддали до народної школи. Перші два роки навчання він нічим не відзначався серед товаришів, його виняткові здібності до арифметики виявилися у третьому класі. Якось учитель дав учням досить складне завдання з арифметики: відшукати суму деякої кількості натуральних послідовних чисел. Учитель вважав, що учні досить довго шукатимуть відповідь. Але через кілька хвилин Карл розв’язав задачу. Коли вчитель проглянув розв'язання, то побачив, що малий Ґаус винайшов спосіб скороченого знаходження суми членів арифметичної прогресії.

З 1795 р. Ґаус — студент Ґеттінгенського університету. Він охоче відвідує лекції з філософії і математики. В цей час він починає свої математичні дослідження. На цей ранній період його творчої діяльності (йому було всього 18 років) припадають такі відкриття й праці: у 1795 р. він винайшов так званий «Метод найменших квадратів»; у 1796 р. розв’язав класичну задачу про поділ кола, з якої випливала побудова правильного 17-кутника, і написав велику й важливу працю «Арифметичні дослідження», яка була надрукована у 1801 р.

ВНЕСОК У НАУКУ ГАУСА Дуже важливе значення має доведена Ґаусом у 1799 р. основна теорема алгебри про існування кореня алгебраїчного рівняння. На основі цієї теореми доведено таку властивість рівнянь: «Алгебраїчне рівняння має стільки коренів дійсних чи комплексних, скільки одиниць у показнику його степеня». За працю, в якій доведено ці теореми, Ґаус дістав звання приват-доцента.

1830—1840 роки Ґаус присвятив теоретичній фізиці. Його дослідження в цій галузі значною мірою були результатом тісного спілкування і сумісної наукової роботи з В. Вебером. Разом з Вебером Ґаус створив абсолютну систему електромагнітних одиниць і сконструював у 1833 перший в Німеччині електромагнітний телеграф. Йому належить створення загальної теорії магнетизму, основ теорії потенціалу і багато ін

В галузі астрономії Ґаус працював близько 20 років. У 1801 р. італійський астроном Піацці відкрив між орбітами Марса і Юпітера маленьку планету, яку він назвав Церерою. Спостерігав він цю планету протягом 40 днів, але Церера швидко наближалася до Сонця і зникла в його яскравих променях. Намагання Піацці відшукати її знову виявилися марними. Ґаус зацікавився цим явищем і, вивчивши матеріали спостережень Піацці, установив, що для визначення орбіти Церери досить трьох її спостережень. Після чого треба було розв'язати рівняння 8-го степеня, з чим Ґаус блискуче справився: орбіта планети була обчислена і сама Церера знайдена.

Таким самим способом Ґаус обчислив орбіту іншої малої планети — Паллади. У 1810 р. французький астрономічний інститут за розв'язання задачі про рух Паллади присудив йому золоту медаль. У цей період учений написав і свою фундаментальну працю «Теорія руху небесних тіл, які обертаються навколо Сонця по конічних перерізах» (1809 р.).

АНРІ ПУАНКАРЕ 1854-1912

БІОГРАФІЯ Анрі Пуанкаре народився 29 квітня 1854 року в містечку Сіте-Дюкаль поблизу Нансі (Лотарингія, Франція). Його батько, Леон Пуанкаре, був професором медицини в Університеті Нансі. З самого дитинства за Анрі закріпилася слава розсіяної, недбалої людини, що має труднощі з графічним закріпленням своїх знань. Ці риси в майбутньому виявилися в своєрідній індивідуальній манері Пуанкаре-ученого.

У дитинстві Анрі переніс дифтерію, яка ускладнилася паралічем ніг і м'якого піднебіння. Хвороба затягнулася на декілька місяців, протягом яких він не міг ні ходити, ні говорити. За цей час у нього дуже сильно розвинулося слухове сприйняття і, зокрема, з'явилася цікава здатність — кольорове сприйняття звуків, яка збереглася у нього до кінця життя.

Хороша домашня підготовка дозволила Анрі у вісім з половиною років поступити відразу на другий рік навчання в ліцеї. Там його відзначають як старанного і допитливого учня. У жовтні 1873 року він стає студентом Політехнічної школи. Далі він вступає до Гірської школи, найбільш авторитетний у той час спеціальний вищий навчальний заклад. Там він через декілька років захищає докторську дисертацію

Отримавши ступінь доктора, Пуанкаре починає викладацьку діяльність в Кані (Нормандія) і паралельно пише свої перші серйозні статті — вони присвячені введеному ним поняттю автоморфних функцій і відразу привертають увагу європейських математиків.

ВНЕСОК У НАУКУ ПУАНКАРЕ Математична діяльність Пуанкаре носила міждисциплінарний характер, завдяки чому за тридцять з невеликим років своєї напруженої творчої діяльності він залишив фундаментальні праці практично у всіх областях математики. Роботи Пуанкаре, опубліковані Паризькою Академією наук в 1916—1954, складають 10 томів. Це праці з топології, теорії ймовірності, теорії диференціальних рівнянь, теорії автоморфних функцій, неевклідової геометрії. Пуанкаре серйозно використовував і доповнив методи математичної фізики, зокрема, вніс істотний внесок до теорії потенціалу, теорії теплопровідності.

Він також займався розв'язуванням різних завдань з механіки і астрономії. Після захисту докторської дисертації, присвяченої вивченню особливих точок системи диференціальних рівнянь, Пуанкаре написав ряд мемуарів під загальною назвою «Про криві, визначені диференціальними рівняннями». У них він побудував якісну теорію диференціальних рівнянь, досліджував характер ходу інтегральних кривих на площині, дав класифікацію особливих точок, вивчив граничні цикли. Пуанкаре успішно застосовував результати своїх досліджень до задачі про рух трьох тіл, детально вивчивши поведінку розв'язку (періодичність, асимптотичність і т. д.). Ним уведені методи малого параметра, нерухомих точок, рівнянь у варіаціях, розроблена теорія інтегральних інваріантів.

Ім'я Пуанкаре безпосередньо пов'язане з успіхом теорії відносності: довгий час він співпрацював з Гендріком Лоренцом і ще в 1898 році, задовго до Ейнштейна, в своїй роботі «Вимірювання часу» сформулював принцип відносності, а потім навіть ввів чотиривимірний простір-час, теорію якого в співпраці з Ейнштейном пізніше розробив Герман Мінковський.

ОҐЮСТЕН-ЛУЇ КОШІ 1789-1857

БІОГРАФІЯ Народився у Парижі. Першим його вчителем і вихователем був батько. Коші закінчив Політехнічну школу (1807) і Школу мостів і шляхів (1810) у Парижі. Деякий час працював інженером шляхів сполучення, а з 1813 зайнявся наукою і викладанням. Його призначили членом Академії Наук замість Г. Монжа. У 1816 праця Коші по теорії хвиль на поверхні важкої рідини на конкурсі Паризької АН одержав першу премію; після цього Коші запрошують у Політехнічну школу, Сорбонну і Коллеж де Франс. У 1830—1838 Коші подорожував по Європі, у Париж він повернувся в 1838, але через ворожість до нового режиму відмовився від пропонованих учених посад, не бажаючи приймати присяги, поки йому не запропонують кафедру «без умов».

ВНЕСОК У НАУКУ КОШІ Роботи Коші відносяться до різних областей математики. Були періоди, коли Коші щотижня представляв у Паризькій АН нову працю. Усього ж він написав і опублікував понад 800 робіт з арифметики і теорії чисел, алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь, теоретичної і небесної механіки, математичної фізики, тощо. Його «Курс аналізу» (1821), «Резюме лекцій числення нескінченно малих» (1823), «Лекції по додатках аналізу до геометрії» (1826—1828), засновані на систематичному використанні поняття границі, стали зразком для більшості пізніших курсів.

У них він дав означення поняття неперервності функції, чітко побудував теорії збіжних рядів, (зокрема, вперше установив точні умови збіжності рядів Тейлора до даної функції і провів виразну межу між збіжністю цього ряду взагалі і збіжністю до даної функції; ввів поняття радіуса збіжності, довів теорему про добуток двох абсолютнозбіжних рядів, тощо), дав означення інтеграла як границі сум, довів існування інтегралів від неперервної функції. Великою заслугою Коші є те, що він розвив основи теорії аналітичних функцій комплексної змінної закладені ще в 18 столітті Л. Ейлером і Ж. д'Аламбером.

Особливо велике значення мають такі результати, отримані Коші: геометричне представлення комплексної змінної як точки, яка переміщається в площині тим чи іншим шляхом інтегрування (цю думку ще раніш висловили К. Гаус і ін.); вираження аналітичної функції у вигляді інтеграла (інтеграл Коші), та розклад функції в степеневий ряд; розробка теорії лишків і її застосування до різних питань аналізу.

У геометрії Коші узагальнив теорію багатогранників, дав новий спосіб дослідження поверхні 2-го порядку, досліджував дотичні, напрямляючі і квадратуру кривих, установив правила застосування аналізу до геометрії, а також рівняння площини і параметричне представлення прямої в просторі. Коші довів (1813), що два опуклі багатогранники з відповідно конгруентними й однаково розташованими гранями мають рівні двогранні кути між відповідними гранями.

В алгебрі він інакше довів основну теорему теорії симетричних багаточленів, розвив теорію визначників, знайшовши всі головні їхні властивості, зокрема теорему множення (причому Коші виходив з поняття знакозмінної функції). Цю теорему він поширив на матриці. Коші належать терміни «модуль» комплексного числа, «сполучені» комплексні числа й ін. Коші поширив теорема Штурму на комплексні корені. Коші належать також дослідження з тригонометрії, механіки, теорії пружності, оптики, астрономії. Коші був членом Лондонського королівського Товариства і майже всіх академії наук. Повне зібрання творів Коші видане Паризькою АН.

ДАЙТЕ ВІДПОВІДЬ НА ЗАПИТАННЯ Що ви можете розповісти про загальний розвиток математики 19 ст? Розкажіть про життєвий шлях та внесок у науку Фур’є. Чим цінні та цікаві для математики праці Гауса? Розкажіть про наукову діяльність Пуанкаре.