X Код для використання на сайті:
Ширина px

Скопіюйте цей код і вставте його на свій сайт

X Для завантаження презентації, скористайтесь соціальною кнопкою для рекомендації сервісу SvitPPT Завантажити собі цю презентацію

Презентація на тему:
Функція y = ctg x її графік та властивості

Завантажити презентацію

Функція y = ctg x її графік та властивості

Завантажити презентацію

Презентація по слайдам:

Слайд 1

Алгебра і початки аналізу. 10 клас (за підручником Мерзляк А. Г.)

Слайд 2

Тема уроку: Функція та її основні властивості (2 уроки)

Слайд 3

Функція та її основні властивості У повсякденному житті нам часто доводиться спостерігати процеси, у яких зміна однієї величини (незалежної змінної) призводить до зміни іншої величини (залежної змінної). Вивчення цих процесів потребує створення їх математичних моделей. Однією з таких найважливіших моделей є функція. Нехай X — множина значень незалежної змінної, Y — множина значень залежної змінної. Функція — це правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної змінної з множини X можна знайти єдине значення залежної змінної з множини Y. Зазвичай незалежну змінну позначають буквою x, залежну — буквою y, функцію (правило) — буквою f. Кажуть, що змінна y функціонально залежить від змінної x. Цей факт позначають так: y = f (x). Незалежну змінну ще називають аргументом функції.

Слайд 4

Функція та її основні властивості Множину значень, яких набуває аргумент, тобто множину X, називають областю визначення функції і позначають D (f) або D (y). Наприклад, областю визначення функції є множина D (y) = (–∞; –1) (–1; 1) (1; +∞). Множину значень, яких набуває залежна змінна y, тобто множину Y, називають областю значень функції і позначають E (f) або E (y). Наприклад, областю значень функції y = x2 + 1 є множина E (y) = [1; +∞).

Слайд 5

Функція та її основні властивості Елементами множин D (f) і E (f) можуть бути об’єкти найрізноманітнішої природи. Так, якщо кожному многокутнику поставити у відповідність його площу, то можна говорити про функцію, область визначення якої — множина многокутників, а область значень — множина додатних чисел. Якщо кожній людині поставити у відповідність день тижня, у який вона народилася, то можна говорити про функцію, область визначення якої — множина людей, а область значень — множина днів тижня. Коли D (f) ⊂ R і E (f) ⊂ R, функцію f називають числовою. Функцію вважають заданою, якщо вказано її область визначення і правило, за яким за кожним значенням незалежної змінної з області визначення можна знайти значення залежної змінної з області значень.

Слайд 6

Задання функції Функцію можна задати одним з таких способів: описово; за допомогою формули; за допомогою таблиці; графічно. Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо при цьому не вказано область визначення, то вважають, що областю визначення функції є область визначення виразу, який входить до формули. Наприклад, якщо функція f задана формулою то її областю визначення є область визначення виразу , тобто проміжок (1; +∞).

Слайд 7

Графік функції Означення. Графіком числової функ ції f називають геометричну фігуру, яка складається з усіх тих і тільки тих точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції f. Сказане означає, що коли якась фігура є графіком функції f, то виконуються дві умови: якщо x0 — деяке значення аргументу, а f (x0) — відповідне значення функції, то точка з координатами (x0; f (x0)) належить графіку; якщо (x0; y0) — координати довільної точки графіка, то x0 і y0 — відповідні значення незалежної і залежної змінних функції f, тобто y0 = f (x0). Фігура на координатній площині може бути графіком деякої числової функції, якщо будь-яка пряма, перпендикулярна до осі абсцис, має з цією фігурою не більше однієї спільної точки. Наприклад, коло не може слугувати графіком жодної функції: тут за заданим значенням аргументу x не завжди однозначно знаходиться значення змінної y (рис. 7).

Слайд 8

Графік функції Графічний спосіб задання функції широко застосовується при дослідженні реальних процесів. Існують прилади, які видають оброблену інформацію у вигляді графіків. Так, у медицині використовують електрокардіограф. Цей прилад рисує криві, які характеризують роботу серця.

Слайд 9

Графік функції На рисунку 8 зображено графік деякої функції y = f (x). Її областю визначення є проміжок [–4; 7], а областю значень — проміжок [–4; 4]. При x = –3, x = 1, x = 5 значення функції дорівнює нулю.

Слайд 10

Нулі функції Означення. Значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю, називають нулем функції. Так, числа –3, 1, 5 є нулями даної функції.

Слайд 11

Проміжки знакосталості Зауважимо, що на проміжках [–4; –3) і (1; 5) графік функції f розташований над віссю абсцис, а на проміжках (–3; 1) і (5; 7] — під віссю абсцис. Це означає, що на проміжках [–4; –3) і (1; 5) функція набуває додатних значень, а на проміжках (–3; 1) і (5; 7] — від’ємних. Означення. Проміжок, на якому функція набуває значень однакового знака, називають проміжком знакосталості функції.

Слайд 12

Проміжки знакосталості Наприклад, проміжки (–∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції y = x2. Зауваження. Під час пошуку проміжків знакосталості функції прийнято вказувати проміжки максимальної довжини. Наприклад, проміжок (–2; –1) є проміжком знакосталості функції f (рис. 8), але до відповіді увійде проміжок (–3; 1), який містить проміжок (–2; –1).

Слайд 13

Зростання функції Якщо переміщатися по осі абсцис від –4 до –1, то можна помітити, що графік функції йде вниз, тобто значення функції зменшуються. Кажуть, що на проміжку [–4; –1] функція спадає. Із збільшенням x від –1 до 3 графік функції йде вгору, тобто значення функції збільшуються. Кажуть, що на проміжку [–1; 3] функція зростає. Означення. Функцію f називають зростаючою на множині M ⊂ D (f), якщо для будь-яких двох значень аргументу x1 і x2, які належать множині M, таких, що x1 < x2, виконується нерівність f (x1) < f (x2).

Слайд 14

Спадання функції Означення. Функцію f називають спадною на множині M ⊂ D (f), якщо для будь-яких двох значень аргументу x1 і x2, які належать множині M, таких, що x1 < x2, виконується нерівність f (x1) > f (x2). Часто використовують коротше формулювання.

Слайд 15

Зростання та спадання функції Означення. Функцію f називають зростаючою (спадною) на множині M, якщо для будь-яких значень аргументу з цієї множини більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції. Наприклад, функція y = x2 – 2x (рис. 9) спадає на множині (–∞; 1] і зростає на множині [1; +∞).

Слайд 16

Зростання та спадання функції Також кажуть, що проміжок (–∞; 1] є проміжком спадання, а проміжок [1; +∞) є проміжком зростання функції y = x2 – 2x. У задачах на пошук проміжків зростання і спадання функції прийнято вказувати проміжки максимальної довжини. Якщо функція зростає на всій області визначення, то її називають зростаючою. Якщо функція спадає на всій області визначення, то її називають спадною.

Слайд 17

Приклади зростаючої та спадної функції Зростаюча: Спадна: y = –x

Слайд 18

Приклад 1 Приклад 1 Доведіть, що функція спадає на кожному з проміжків (–∞; 0) і (0; +∞). Розв’язання. Нехай x1 і x2 — довільні значення аргументу з проміжку (0; +∞), причому x1 < x2. Тоді за властивістю числових нерівностей . Отже, дана функція спадає на проміжку (0; +∞). Аналогічно доводять, що функція f спадає на проміжку (–∞; 0). Зауважимо, що не можна стверджувати, що дана функція спадає на всій області визначення D (f) = (–∞; 0) (0; +∞), тобто є спадною. Дійсно, якщо, наприклад, x1 = –2, x2 = 3, то з нерівності x1 < x2 не випливає, що .

Слайд 19

Приклад 2 Приклад 2 Доведіть, що лінійна функція f (x) = kx + b є зростаючою при k > 0 і спадною при k < 0. Розв’язання. Нехай x1 і x2 — довільні значення аргументу, причому x1 < x2. Маємо: f (x1) – f (x2) = (kx1 + b) – (kx2 + b) = kx1 – kx2 = k (x1 – x2). Оскільки x1 < x2, то x1 – x2 < 0. Якщо k > 0, то k (x1 – x2) < 0, тобто f (x1) < f (x2). Отже, при k > 0 дана функція є зростаючою. Якщо k < 0, то k (x1 – x2) > 0, тобто f (x1) > f (x2). Отже, при k < 0 дана функція є спадною.

Слайд 20

Найбільше і найменше значення функції Нехай у множині M ⊂ D (f) існує таке число x0, що для всіх x ∈ M виконується нерівність f (x0) ≥ f (x). У такому випадку говорять, що число f (x0) — найбільше значення функції f на множині M, і записують Якщо для всіх x ∈ M виконується нерівність f (x0) ≤ f (x), то число f (x0) називають найменшим значенням функції f на множині M і записують

Слайд 21

Приклади

Слайд 22

Найменше і найменше значення функції Якщо c — деяке число і f (x) = c для будь-якого x ∈ M, то число c є і найбільшим, і найменшим значенням функції f на множині M.

Слайд 23

Найбільше і найменше значення функції Не будь-яка функція на заданій множині M ⊂ D (f) має найменше або найбільше значення. Найбільшого значення на множині R ця функція не має. Функція на множині M = (0; +∞) не має ні найбільшого, ні найменшого значень.

Слайд 24

Найменше значення функції Часто для знаходження найбільшого і найменшого значень функції зручно користуватися таким очевидним фактом:

Слайд 25

Первинне закріплення вивченого матеріалу 1 . Що таке функція? 2 . Що називають аргументом функції? 3 . Що називають областю визначення функції? 4 . Що називають значенням функції? 5 . Що називають областю значень функції? 6 . Що треба вказати, щоб функція вважалася заданою? 7 . Які способи задання функції ви знаєте? 8 . Що вважають областю визначення функції, якщо вона задана формулою і при цьому не вказано область визначення? 9 . Що називають графіком числової функції? 10. Яке значення аргументу називають нулем функції? 11. Поясніть, що називають проміжком знакосталості функції. 12. Яку функцію називають зростаючою на множині? 13. Яку функцію називають спадною на множині? 14. Яку функцію називають зростаючою? 15. Яку функцію називають спадною? 16. Поясніть, що називають найбільшим (найменшим) значенням функції на множині. 17. Як записують, що число f(x0) є найбільшим (найменшим) значенням функції f на множині M?

Слайд 26

Вправи 46.° Функцію задано формулою f (x) = –3x2 + 2x. Знайдіть: f (1); f (0); f (1/3); f (–2). Знайдіть значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 0; –1; –56. Чи є правильною рівність: f (–1) = 5; f (2) = –8? 47.° Функцію задано формулою Знайдіть: f (4); f (0); f (9); f (–3). Знайдіть значення x, при якому: f (x) = 9; f (x) = 0,5; f (x) = –10. 48.° Кожному натуральному числу, більшому за 15, але меншому від 25, поставили у відповідність остачу від ділення цього числа на 4. Яким способом задано цю функцію? Яка область значень цієї функції? Задайте дану функцію таблично.