Презентація на тему:
Ймовірності випадкових подій.

Ймовірності випадкових подій.

ЗМІСТ Випадкова подія. Статистичне та класичне означення ймовірності випадкової події. Теоретико-множинний розгляд випадкових подій. Умовна ймовірність. Теореми множення ймовірностей. Теореми додавання ймовірностей.

Основні поняття теорії ймовірностей Теорія ймовірностей вивчає масові випадкові події, які характеризуються стійкою частотою їх появи. Випадковою подією в теорії ймовірності називають всякий факт, який в результаті досліду (спостереження) може відбутися або не відбутися. Різні випадкові події позначаються латинськими буквами А, В, С… .

Основні поняття теорії ймовірностей Стохастичний експеримент - експеримент, точний результат (наслідок) якого передбачити неможливо. Випробування - кожне конкретне (окреме) проведення стохастичного експерименту. Елементарна подія - кожний можливий наслідок стохастичного експерименту. Простір елементарних подій - множина всіх можливих наслідків стохастичного експерименту.

Поняття випадкової події Події позначають великими латинськими буквами А, В, С тощо. Оскільки кожна подія є деякою множиною, то її можна задати переліком її елементів – елементарних подій, або словесно – описанням характеристичної властивості її елементів. Кожну елементарну подію е, з яких складається подія А, називають елементарною подією, що сприяє події А і позначають е А. Усі інші елементарні події е вважаються такими, що не сприяють події А і позначають е А. Наприклад, в експерименті з підкиданням грального кубика події А 2, 4, 6 («випала парна кількість очок») сприяє три елементарних події: 2, 4 і 6, а 1, 3 і 5 не сприяють події А.

Поняття випадкової події Якщо в результаті випробування відбулася елементарна подія е, що сприяє події А (е А), то кажуть, що в результаті цього випробування подія А відбулася; якщо в результаті випробування не відбулася жодна елементарна подія е А, то кажуть, що в результаті цього випробування подія А не відбулася. Простір елементарних подій є початковою математичною моделлю стохастичного експерименту. Геометрично простір елементарних подій зображають у вигляді прямокутника, а події – частинами цього прямокутника, наприклад кругами.

Вірогідна та неможлива події Подія – множина усіх можливих наслідків експерименту. В результаті кожного випробування подія обов’язково відбудеться. Тому подію називають вірогідною (або достовірною). Інакше, вірогідною є подія, яка відбувається в результаті кожного випробування, пов’язаного з даним стохастичним експериментом. Подія не містить жодної елементарної події е з множини , тому вона ніколи не може відбутися в результаті проведення експерименту. Подію називають неможливою. Інакше кажучи, неможливою є подія, яка не може відбутися в результаті будь-якого випробування, пов’язаного з даним стохастичним експериментом.

Рівні події Якщо подія В відбувається завжди, коли відбувається подія А, то пишуть і кажуть, подія В спричинюється подією А або подія А спричинює подію В. Це означає, що кожна елементарна подія е, що сприяє події А (е А), сприяє також і події В (е В). Якщо подія А спричинює подію В і подія В спричинює подію А ( і В А), то події А і В називають рівними, або рівносильними, або еквівалентними і записують А = В. Це означає, що кожна елементарна подія, що сприяє події А, сприяє також і події В, та навпаки, кожна елементарна подія, що сприяє події В, сприяє також і події А. Інакше, події А і В рівні тоді і тільки тоді, коли вони одночасно відбуваються або не відбуваються.

Операції над подіями Сумою подій А + В називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна з подій А або В. Щоб отримати суму подій А + В, треба до елементарних подій, що сприяють одній з них, приєднати ті елементарні події, що сприяють іншій і не сприяють першій.

Сумою подій Аі називають таку подію C = Ai , яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна з подій Аі.

Приклад. Подія A – “випадання цифри 1 при одноразовому підкиданні грального кубика”. Подія B – “випадання цифри 2 при одноразовому підкиданні грального кубика”. Сумою A+B зазначених подій є подія C – “випадання цифри, не більшої двох, при одноразовому підкиданні грального кубика”.

Операції над подіями Добутком подій А · В називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбуваються обидві події А і В Щоб отримати добуток подій А В, треба взяти всі ті елементарні події, які одночасно сприяють обом подіям А та В. Події А та В називають несумісними, якщо А В =

Добутком подій Аі називають таку подію яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається кожна з подій Аі.

Приклад. Подія A – “студент отримав екзаменаційний білет з парним номером”. Подія B – “студент отримав екзаменаційний білет з номером, кратним трьом”. Добутком A×B зазначених подій є подія C – “студент отримав екзаменаційний білет з номером, кратним шести”.

Операції над подіями Різницею А В подій А та В називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія А і не відбувається подія В. Різницю А називають подією, протилежною до події А і позначають Ā

Означення випадкової події Випадковими подіями або просто подіями називають такі підмножини простору Ω, які утворюють деяку сукупність S, що задовольняє три основні умови: 1s. S - вірогідна подія завжди належить цій сукупності; 2s. Якщо А S, то Ā S - кожна подія належить цій сукупності разом зі своєю протилежною подією; 3s. Якщо Аi S, i N, то Аi S - для будь-яких подій, що належать даній сукупності, їх сума також належить цій сукупності. Таку сукупність S називають простором подій. Кожну підмножину , що входить до S, вважають подією, а всі інші підмножини Ω не вважають подіями.

Простір випадкових подій Простір подій S можна утворювати багатьма способами. Головним при побудові простору подій є виконання основних властивостей подій 1s – 3s, які можна назвати правилами побудови простору подій або правилами визначення випадкових подій. Наприклад, при підкиданні грального кубика простір елементарних подій 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Нам важливо, щоб подією було випадання парної кількості очок. Тоді в S повинні входити Ω, , А = {2, 4, 6} (за умовою завдання) і Ā= {1, 3, 5} (за властивістю 2s). Cукупність , , 1, 3, 5 , 2, 4, 6 можна вважати простором випадкових подій S і при цьому кожен елемент цієї сукупності є випадковою подією. Усі інші підмножини при цьому не вважаються подіями.

Статистична ймовірність події Нехай дано експеримент і визначено простір елементарних подій та простір подій S. Для цього експерименту проведено n випробувань і при цьому фіксована елементарна подія е відбулася m раз, 0 ≤ т ≤ n. Число m випробувань, у яких відбулася елементарна подія е називається її абсолютною частотою, а відношення m до n називається відносною частотою елементарної події е в даній серії з n випробувань. Відносна частота елементарної події е характеризує середню можливість її відбування у кожному з n випробувань. Позначається і обчислюється за формулою

Статистична ймовірність і кількість випробувань Статистична ймовірність події може залежати від кількості n випробувань і, зрозуміло, що коли змінюється кількість випробувань, то може змінюватися і статистична ймовірність. Виникає питання – на скільки суттєві такі зміни? Розглянемо приклад. 1. В таблиці подано результати експерименту з підкиданням монети. Було проведено 10 серій з 1000 підкидань:

Поняття ймовірності події Приклади 1 показуює, що хоча відносна частота випадання герба змінюється, вона мало відрізняються від числа 0,5. Можна навести ще чимало дослідів, у яких при досить великій кількості випробувань статистична ймовірність Рn* (А) кожної фіксованої події А з даного простору подій S майже не відрізняється від деякого числа Р(А), яке не залежить від кількості випробувань. Це число і називають ймовірністю події А.

Визначення ймовірності події За умови рівноможливості елементарних подій, що утворюють простір , ймовірність будь-якої події А обчислюється за формулою де k – кількість елементарних подій, що сприяють події А, т – кількість усіх елементарних подій простору . Обчислення ймовірностей за вказаним правилом називають обчисленням ймовірності події за класичною схемою.

Властивості ймовірності події

Алгоритмічний припис обчислення ймовірності події за класичною схемою Опиши експеримент, про який йдеться в умові задачі та відповідний простір елементарних подій . Обґрунтуй рівноможливість елементарних подій і визнач, з яких елементарних подій складається подія А. Визнач кількість т елементарних подій простору Ω. Визнач кількість k елементарних подій, що сприяють події А. Обчисли ймовірність події А за формулою

Комбінаторика При розв’язуванні задач з теорії ймовірностей не завжди можливо побудувати повну групу елементарних подій через великий обсяг роботи. Тому обмежуються тільки обчисленням кількості всіх елементарних подій, а також кількості тих із них, що сприяють певній випадковій події. При цьому використовують правило множення, перестановки, розміщення та комбінації.

Правило множення. Наприклад, кількість трьохзначних чисел, яка може бути утворена із п’яти неповторюваних цифр, визначається так: на перше місце можна поставити будь-яку із п’яти цифр, на друге місце можна поставити будь-яку з чотирьох цифр (оскільки одна цифра вже стоїть на першому місці), на третє місце можна поставити будь-яку з трьох цифр (оскільки дві цифри вже стоять). Отже, результатом є 5×4×3 = 60 .

Правило множення. Означення. Перестановками із n різних елементів називають такі їх сукупності, що відрізняються між собою тільки порядком розташування. Кількість перестановок обчислюють за формулою P n = n! .

Правило множення. Наприклад, із трьох цифр 1, 2 і 3 можна утворити P3=3!= 1×2×3=6 перестановок,які є числами з усіма різними цифрами: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Означення . Розміщеннями із n різних елементів по m Називаються такі їх сукупності, що містять по m елементів і відрізняються між собою або порядком розташування, або хоча б одним елементом.

Правило множення. Із означення випливає, що розміщення своїм окремим випадком при m=n мають перестановки. Кількість розміщень обчислюють за формулою

Правило множення.