Презентація на тему:
Формула повної ймовірності

Формула повної ймовірності Виконали : студенти II курсу 9 групи економічного факультету Ліманська Світлана Погоріла Яна Макаренко Альона

План 1. Формула повної ймовірності Приклади 2. Формула Байєса Приклади

1.Формула повної ймовірності Теорема: Ймовірність події А, яка може настати лише за умови появи однієї із попарно не сумісних подій повної групи Н, визначається за формулою: Р(А)=Р(Н1)Р Н1(А)+Р(Н2)РН2(А+…+Р(Нn)РНn(А), або Р(А)=∑Р(Ні)Рні(А).  

Доведення. Якщо подія А відбулася разом з однією із подій Н1, Н2,…Нn, то це означає, що відбулася одна із попарно несумісних подій А∩Н1,А∩Н2,…, А∩Нn. Тоді маємо: А=А ∩ Н1+А ∩ Н2+…+ А ∩ Нn. Тому, застосовуючи теорему про додавання ймовірностей несумісних подій, дістанемо: Р(А)=Р(А∩Н1)+Р(А∩Н2)+…+Р(А∩Нn).

За теоремою множення залежних подій маємо: Р(А∩Ні)=Р(Ні)Рні(А), де і=1,2,…,n. Після підстановки отримаємо: Р(А)=Р(Н1)Рн1(А)+Р(Н2)Рн2(А)+…+Р(Нn)РНn(А). Формула називається формулою повної ймовірності. Події Ні називають гіпотезами; Р(Ні) – ймовірність гіпотез.

Приклад 1) З трьох картоплезбиральних комбайнів до овочесховища надходить відповідно 20%, 30% і 50% врожаю. Від першого надходить 0,2% пошкоджених картоплин, від другого – 0,3% і від третього – 0,1%. Знайти ймовірність того, що взята навмання картоплина буде пошкодженою.

Розв’язання: Нехай Н1, Н2, Н3 – гіпотези про те, що картоплина викопана відповідно першим, другим чи третім комбайном, А – картоплина пошкоджена. За умовою: Р(Н1)=0,2; Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,5; Рн1(А)=0,002; Рн2(А)=0,003; Рн3(А)=0,001. За формулою повної ймовірності: Р(А)=0,2.0,002+0,3.0,003+0,50,001=0,0018.

Приклад До складального цеху надходять деталі від трьох інших цехів. Від першого надходить 45% усіх деталей, від другого – 35% і від третього – 20%. Перший цех допускає в середньому 6% браку, другий - 2% і третій – 8%. Яка ймовірність того, що до складального цеху надійде стандартна деталь?

Розв’язання: Позначимо через А появу стандартної деталі,В1 – деталь надійде від першого цеху, В2 – від другого, В3 – від третього. За умовою задачі: Р(В1)=0,45, Р(А/В1)=0,94; Р(В2)=0,3, Р(А/В2)=0,98; Р(В3)=0,2, Р(А/В3)=0,92. Звідси маємо: Р(А)=Р(В1)Р(А/В1)+Р(В2)Р(А/В2)+Р(В3)Р(А/В3)= =0,45.0,94+0,35.0,98+0,2.0,92=0,95 Відповідь: 0,95.

Томас Байєс Англійський математик і пресвітеріанский священик, член Лондонського королівського товариства Народився в 1702 році в Лондоні. Навчався вдома, в 1719 році вступив до Единбурзького університету. Потім Байес допомагав батькові проводити службу, а незабаром, у 30-х роках, сам став священиком в пресвітеріанської церкви. У 1752 році він вийшов у відставку; помер в 1761 році.  

Математичні інтереси Байеса відносяться до теорії ймовірностей. Він сформулював і вирішив одну з основних задач цього розділу математики (теорема Байеса). Робота, присвячена цій меті, була опублікована в 1763 році, вже після його смерті. Формула Байеса, що дає можливість оцінити ймовірність подій емпіричними шляхом, відіграє важливу роль у сучасній математичній статистиці та теорії ймовірностей. Інша велика його робота - «Нариси до вирішення проблеми доктрини шансів». Використовується термінологія: байєсівську ймовірність, байєсівську мережа довіри, байєсівську оцінка рішення, і т. п.

2.Формула Байеса Формула повної ймовірності дає можливість встановити ймовірність появи події А, не виясняючи,яка з подій Н викликала подію А. Але якщо подія А відбулася, то можна зацікавитися питанням вияснення “винуватця”, тобто вияснити ймовірність, того, що подія Ні визвала появу події А.

Теорема. Для будь-якої випадкової події А, для якої Р(А) ≠0, і яка може з’явитись лише за умови появи однієї з попарно несумісних випадкових подій Н1, Н2,…,Нn, що складають повну групу подій, виконується рівність: РА(Ні)=Р(Ні)Рні(А)/Р(А). Оскільки подія А трапилася з однією із подій групи Н, то ∑РА(Ні)=1.

Приклад У банку N є дві філії – I і II, що приносять банку прибуток. Ймовірність того, що прибуток принесе філії I, дорівнює 0,9, а того, що II – 0,8. Частка прибутку філії І становить 0,6, а ІІ – 0,4. Знайти ймовірність таких подій: а) Подія А – “банк отримав прибуток від філій” б) Подія В – “банк отримав прибуток від філії ІІ”

Розв’язання: Н1 – банк отримав прибуток від філії І; Н2 – банк отримав прибуток від філії ІІ; За умовою ймовірності цих подій Р(Н1)=0,9; Р(Н2)=0,8. Умовні ймовірності: Рн1(А)=0,6; Рн2(А)=0,4. Тоді за формулою повної ймовірності: Р(А)=Р(Н1) .Рн1(А)+Р(Н2).Рн2(А)= =0,9.0.6+0,8.0.4=0,86 За формулою Байєса: Р(В)=(0,8.0,4)/0,86=0,37 Відповідь:а) 0,86; б)0,37.