Презентація на тему:
Рівняння як математична модель задачі

Рівняння як математична модель задачі

В розвитку алгебри як науки і як навчального предмета велику роль відіграла книга геніального англійського фізика і математика І. Ньютона « Всеобщая алгебра», видана в 1707р. Ця книга є продовженням і завершенням праць Вієта, Декарта та інших вчених в справі переходу від риторичної і геометричної алгебри до символьної, сучасної алгебри.

В своїй книзі « Всеобщая алгебра» І.Ньютон називає букви, знаки дій, алгебраїчні вирази і рівняння мовою алгебри. Щоб розв'язати задачу, пише він,треба лише «перекласти її зі звичайної мови на мову символьних виразів», мову алгебри. Переклад цей означає складання рівняння, розв'язування якого приведе до розв'язання поставленої задачі.

Приклад У двох цистернах зберігається 66 т бензину, причому в першій бензину в 1,2 раза більше, ніж у другій. Скільки бензину в кожній цистерні?

Нехай у другій цистерні х т бензину (І), тоді в першій —1,2х т. У двох цистернах разом (х +1,2.x) т бензину, що за умовою доцівнює 66 т. Маємо рівняння: х + 1,2х =66, (II) 2,2х =66, х =66:2,2 , х = 30. (III) Отже, у другій цистерні було 30 т бензину, а в першій 1,2 • 30 = 36 (т). Відповідь. 36 т; 30 т. (IV) I. Невідоме позначаємо буквою. II.Використовуючи умову задачі, складаємо рівняння. III Розв'язуємо рівняння. IV. Пояснення (інтерпретація знайдених коренів відповідно до умови задачі) Розв'язання:

Рівняння допомагають розшифровувати деякі історичні факти. Так розшифрована біографія старогрецького ученого, математика Діофанта ( жив 23 століття тому), про якого відомо мало. Дещо про його життя і про те, скільки років він прожив, можна судити із запису, зробленого на його могильній плиті:

Прах Діофанта гробниця ховає, вдивися — і камінь Мудрим мистецтвом розкриває покійного вік: З волі богів шосту частину життя був він дитина, А ще половину шостої — стрів із пушком на щоках. Тільки минула сьома, з коханою він одружився, З нею п'ять років прожив, і сина діждався мудрець. Та півжиття свого тішився батько лиш сином: Рано могила дитину у батька забрала. Років двічі по два батько оплакував сина. А по роках цих сам стрів він кінець свій печальний ... Скільки років жив Діофант? ДІОФАНТ АЛЕКСАНДРІЙСЬКИЙ (III ст.)

Для відповіді на це запитання потрібно скласти рівняння, у якому за роки математика позначити змінну х, тоді − був він дитина, − стрів із пушком на щоках, − з коханою він одружився, − тішився батько сином.

Врахувавши, що п'ять років прожив він з коханою та 4 роки оплакував сина, одержимо рівняння:

Легко підрахувати, що Діофант прожив 84 роки, але коли точно - невідомо. Час (II - III ст. н. е.) його життя визначено з непрямих розумінь.

У ході розв'язання задачі складання таблиці є допоміжним інструментом, що допомагає формалізувати текстову задачу, а це у свою чергу полегшує складання рівняння (математичної моделі задачі).

Задача 1. В одній шафі було в 4 рази менше книжок, ніжу другій. Коли в першу шафу поставити 17 книжок, а з другої взяти 25, то в обох шафах книг стане порівну. Скільки книжок було в кожній шафі спочатку?

Розв'язання. Спочатку складемо таблицю: Отже, маємо рівняння: х+17=4х-25 Було Змінили Стало 1-ша шафа 2-га шафа х +17 х + 17 4х -25 4х-25 порівно

Задача 2. Від села до міста легковий автомобіль доїхав за 2 години, а вантажівка — за 5 годин. Знайдіть швидкість руху кожної машини, якщо швидкість вантажівки на 48 км/год менша від швидкості легкового автомобіля.

Розв'язання. Складемо таблицю: Отже, маємо рівняння: 2(х+48)=5х v (км/год) t (год) s (км) х + 48 2 2(х + 48) х 5 5х порівно Легковий автомобіль Вантажівка

v (км/год) t (год) s (км) Рівняння І х + 2 2 2(х + 2) 3х = 2(х + 2) IІ х 3 3х Скласти задачу за даними таблиці та рівняння .

Розв'язати задачі : 1) З однієї станції вийшов потяг зі швидкістю 56 км/год, а через 4 год. з іншої станції назустріч йому вийшов інший потяг зі швидкістю 64 км/год. Відстань між станціями 584 км. Скільки часу був кожний потяг у дорозі до зустрічі? 2) На першій ділянці смородини на 9 кущів більше, ніж на другій. Якщо з другої ділянки пересадити на першу 3 кущі, то на першій ділянці стане у 1,5 рази більше кущів смородини, ніж на другій. Скільки кущів смородини напершій ділянці?

Бажаю успіхів!