Презентація на тему:
Криві другого порядку

Криві другого порядку Підготували студентки 1 курсу 4 групи Економічного факультету Стужна Вікторія Костенко Катерина

Зміст: Загальна формула Коло Еліпс Гіпербола Парабола Рівняння 2 порядку в загальному вигляді(випадок кола)

Загальна формула Aх²+Ау²+Вх+С+D=0 Для прямої діє принцип взаємнооднозначної відповідності. Для рівнянь II порядку цей принцип порушується. Існує всього 4 види кривих ліній, які описують рівняння ІІ порядку. Такими лініями є: Коло Еліпс Парабола Гіпербола

Коло Колом називається геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від деякої точки, яку називають центром кола. Відстань від центру кола до кривої називають радіусом кола.

Радіус задається формулою: Це рівняння є рівнянням кола зі зміщеним центром відносно початку координат. Якщо початок координат перенести в точку А, то в новій координатній системі будемо мати: X² +Y²=R²

Ці рівняння 2 порядку мають досить специфічний вигляд, характерний тільки для кола, тому їх називають канонічними(узаконеними). Якщо рівняння кола поділити на R , то одержимо: Для будь-якого рівняння в канонічному вигяді існує взаємооднозначна відповідність.

Приклад: Записати рівняння кола,яке відсікає по осі Ох відрізок в 6 одиниць і має центром точку А(2;3) Точка перетину з віссю Ох буде: В(6;0)Тоді радіус кола: Рівняння кола буде: (х-2) ²+(у-3) ²=25

Еліпс Еліпсом називають геометричне місце точок, для кожної з яких сума відстаней до двох точок, які називаються фокусами, є сталою величиною. Це канонічне рівняння еліпса з центром на початку координат.

Якщо центр еліпса буде в т.А(х;у), то рівняння еліпса буде таким: Це канонічне рівняння еліпса зі зміщеним центром.

Величини а і b називаються напівосями еліпса. Якщо а=b, то еліпс перетворюється в коло. Величина а/c називається ексцентристетом еліпса і позначається Напівосічерез ексентриситент пов‘язані між собою виразом: Якщо с=0, =0 і b=0

Приклад: Записати рівняння еліпса та знайти його ексцентриситет, якщо а=5, b=3, а центр еліпса знаходиться в т. А(3;4) Для зміщеного центру маємо:

Гіпербола -це геометричне місце точок, для кожної з яких різниця відстаней до двох деяких точок(фокусів) є величиною сталою.

Дане рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи з центром на початку координат.

Через початок координат проходять прямі до яких гілки гіперболи можуть наближатись достатньо близько, але ніколи до них не дотикаються, тому ці прями називають асимптотами.

Таким чином, канонічне рівняння гіперболи буде Для неї асимптоти нахилені до осі Ох під кутом 45˚

Приклад: записати рівняння гіперболи, яка проходить через точку А(5; 5), якщо її асимптоти паралельні осям координат і перетинаються у точці В(3;2). З рівняння маємо: (х-3)(у-2)=k. Підставляючи координати точки А в рівняння, знаходимо (5-2)(5-3)= k => k=6. Отже, (х-3)(у-2)=6 є рівнянням гіперболи

Парабола -це геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від деякої точки (фокуса) та деякої прямої( деректриси). Дане рівняння є канонічним рівнянням параболи з вершиною на початку координат. Якщо повернути графік на 90˚ та поміняти х та у місцями, одержимо рівняння параболи:

Якщо число p

Якщо ж вершина параболи з точки О(0;0) перемістити в точку А(х; у) то рівняння параболи будуть:

Приклад: записати рівняння параболи, яка має вершину в точці А(6;3) і проходить через точку В(0;-8) Гілки параболи спрямовані вниз, отже її рівняння буде таким: Точка в лежить на параболі значить задовольняє її рівняння. Підставивши у рівняння координати точки В, одержимо (0-6)= -2p(-8-3) =>36 =22p =>p=36/22 =>2p=36/11. Отже, рівняння параболи буде ; (х-6)² = -36/11(у -3).

Рівняння ІІ порядку в загальному вигляді(випадок кола) Для канонічного рівняння ІІ порядку завжди існує однозначний зв’язок між виглядом рівняння і лінію. Це означає, що будь-якому написаному канонічному рівнянню завжди відповідає певна лінія ІІ порядку, яку можна зразу ж відтворити на графіку. Для лінії ІІ порядку в загальному вигляді цього показати не можна. З канонічного рівняння кола зі зміщеним центром маємо:

Порівняємо рівняння кола зі зміщеним центром із рівнянням в загальному вигляді Aх²+Ау²+Вх+С+D=0 з рівняння випливає, що В =0 і А=С. Тоді перепишемо рівняння в загальному вигляді за накладанням цих умов: Отже, умова існування кола для рівняння буде такою: 1)А=С 2)В=0 3)D²+E²=>4AF Якщо це так, то параметри кола будуть: