Презентація на тему:
Теореми множення та додавання ймовірностей

Виконали: Дерій А. І Федотова В.Д Якубівський В.О економічний факультет ІІ курс, 9 група.

Теореми множення ймовірностей: Умовна ймовірність. Теорема множення для залежних подій. Теорема множення для незалежних подій. Ймовірність появи хоча б однієї з подій. Теорема додавання ймовірностей: Теорема додавання для сумісних подій. Теорема додавання для несумісних подій. Список використаної літератури.

Умовна ймовірність Озн. Умовною ймовірністю називається ймовірність появи події B за умови, що відбулася подія A . Умовна ймовірність позначається РA(B) . Умовна імовірність появи події В за умови, що подія А відбулася, визначається за формулою: РА(В) = р(АВ) : р(А)

ПРИКЛАД 1. На столі у викладача знаходяться три дипломні роботи магістрів і дві дипломні роботи спеціалістів. Він навмання бере одну роботу (перше випробування), а потім другу (друге випробування). Першою дістали дипломну роботу магістра (подія A ). Знайти ймовірність появи дипломної роботи магістра (подія B) у другому випробуванні, якщо першу дипломну перед другим випробуванням : а) повернули назад; б) не повернули назад.

Розв’язання: а) При поверненні дипломної роботи магістра на стіл робіт знову буде три, що в загальній кількості становить п’ять. Умова не змінилась, тому подія B не залежить від події A : Р(B)= 3/5 . б) Взяту дипломну роботу зі столу не повертають, тому там буде чотири роботи, з яких дві належать магістрам. Умова змінилась, тому поява події B залежить від появи події A. Маємо умовну ймовірність: РA(B) = 2/4=1/2. ЗМІСТ

Теорема множення для залежних подій. Озн. Випадкові події А і В називаються залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на імовірність появи іншої. Теорема 1. Ймовірність сумісної появи двох випадкових подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої за умови, що перша подія відбулася: Р(АВ) = Р(А).РА(В)=Р(В).РВ(А)

ПРИКЛАД 2 Біля деканату знаходяться 15 студентів. Із них 9 відмінників, а решта двієчники. Заступник декана викликає до себе по-одному студенту. Через деякий час у кабінеті опинилося 3 студенти. Обчислити ймовірність появи таких випадкових подій: а) три студенти виявилися відмінниками (подія А); б) усі три виявилися двієчниками (подія В);

Розв’язання: Подія А – у кабінеті відмінник, подія В –двієчник. Р(А1) = 9/15; Р(А2) = 8/14; Р(А3) = 7/13. Р(В1) = 6/15; Р(В2) = 5/14; Р(В3) = 4/13. а) за умовою всі 3 студенти, що знаходяться в кабінеті є відмінниками, тому: Р(А) = Р(А1.А2.А3) = (9/15). (8/14). (7/13) = 12/65. б) за умовою всі 3 студенти, що знаходяться в кабінеті є двієчниками, тому: Р(В) = Р(В1.В2.В3) = (6/15).(5/14).(4/13) = 6/91. ЗМІСТ

Теорема множення для незалежних подій. Озн. Випадкові події А і В називаються незалежними, якщо поява однієї з них (А або В) не впливає на імовірність появи іншої. Теорема 2. Ймовірність добутку незалежних подій (одночасної появи) дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р(AB) = Р(A).Р(B) .

ПРИКЛАД 3 У Районну Державну Адміністрацію одночасно здано два звіта, щодо роботи підприємств. Ймовірність наявності помилки в звіті дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що помилки не було допущено ні в одному з двох звітів.

Розв’язання: Якщо ймовірність поломки дорівнює Р(А)=0,1, то ймовірність безпомилкового звіту Р(Ā)=1 - 0,1 = 0,9. Помилка в звіті може бути допущена незалежно одна від одної, тому за теоремою множення маємо: Р(AB)=Р(A).Р(B)=0,9.0,9=0,81.

Ймовірність появи хоча б однієї з подій. Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних у сукупності подій А1, А2,..., Аn дорівнює: Р(А)=1–Р(Ā1).Р(Ā2). ... .р(Ān), де Р(Āi) – ймовірність протилежних подій, Р(А) = Р(А1+А2+ ... +Аn ).

ПРИКЛАД 4 Вася та Коля завжди тікають з пар. Їх попередили, що з наступної тікати не бажано. Ймовірність того що Вася (А1) втече дорівнює 0,9, а Коля (А2) - 0,7. Яка ймовірність того, що хоча б один із них втече.

Розв’язання: Ймовірність того що Вася втече: Р(А1)=0,1, а не втече: Р(Ā1)=1-0,1=0,9. Ймовірність того що Коля втече : Р(А2)=0,1, а не втече: Р(Ā2)=1-0,1=0,9. Ймовірність того, що хоча б один із них втече дорівнює: Р(Ā1Ā2)=1–0,9.0,7=0,37.

Теорема додавання для сумісних подій. Озн. Подіі А і В називаються сумісними, якщо поява однієї із них не виключає можливість появи іншої. Теорема: Якщо випадкові події A і B сумісні, то: Р(A+B) = Р(A)+Р(B)-Р(AB).

ПРИКЛАД 5 Щоб здати іспит Гапка підготувала 80% білетів, а Параска – 90% білетів. Знайти ймовірність складання іспиту однієї із студенток.

Розв’язання: Згідно умови: Р(А)=0,8, а Р(В)=0,9. Так як події є сумісними, то ймовірність складання іспиту: Р(А+В)=0,8+0,9-0,8.0,9=0,98.

Теорема додавання для несумісних подій Озн. Подія А і В називаються несумісними, якщо поява однієї із них виключає можливість появи іншої. Теорема. Якщо випадкові події А і В несумісні (А∩В=Ø), то імовірність появи однієї із них дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Сума ймовірностей попарно несумісних подій, що утворюють повну групу дорівнює 1.

ПРИКЛАД 6 Є 9 пронумерованих звітів, відповідно від 1 до 9. Навмання вибирають один звіт. Подія А – що номер звіту кратний 2, подія В – кратний 5. Яка ймовірність, що номер вибраного звіту кратний або 2 або 5?

Розв’язання: Нехай подія А – вибраний звіт за номером кратним 2: А= {2, 4, 6, 8}; Р(А)=4/9. Подія В – вибраний звіт за номером кратним 5: В = {5}; Р(В)=1/9. Так як А∩В=Ø, то Р(А+В) = 4/9 + 1/9 = 5/9.

1. «Теорія ймовірностей» Шевченко Р.Л., Ревицька У.С. Розділ ІІ. § 5–7. 2. «Теорія ймовірностей і математична статистика» Частина 1, В.І Жлуктенко, С.І Наконечний,Тема 2 § 1–4.