Презентація на тему:
Проектна робота з теми:“ Системи рівнянь з параметрами ”

Проектна робота з теми: “ Системи рівнянь з параметрами ” Виконала учениця 11 х/б класу Педан Поліна Керівник проекту: Вчитель математики вищої категорії Шкаран Ніна Іванівна

Мета проекту: Сформувати вміння та навички розв’язувати системи двох рівнянь з двома змінними з параметрами; розвивати інтерес, творчі здібності та інтуїцію учнів, вміння застосовувати набуті знання в нових ситуаціях, виховувати зібраність, працьовитість, охайність, організованість, графічну та математичну культуру. Завдання з параметрами вважаються важними для розуміння і засвоєння учнями. Але Задачі з параметрами традиційно входять до завдань ДПА та ЗНО з математики. Проектна робота пропонує системи рівнянь з параметрами, і має за мету допомогти учням 9 класу чітко і логічно застосовувати математичні твердження, знаходити неординарні методи їх розв’язування.

1. Для кожного значення параметра а знайдіть кількість розв’язків системи рівнянь І. Будуємо графік першого рівняння: Отримуємо прямокутній рівнобедрений трикутник з катетами по 6; ІІ. Розглянемо розміщення кола відносно його радіуса - √а; Якщо коло дотикається до прямої, то його радіус при цьому дорівнює висоті, а за даними цей трикутник прямокутній, то за його властивостями медіана дорівнює половині гіпотенузи => за теоремою Піфагора - АВ²=6²+6², АВ=6√2 і √а=OF=1/2АВ=6√2/2=3√2, √а=√18, а=18, тобто радіус кола дорівнює 18, звідси: . . . у 1) х+у=6 - пряма х ²+ у ² = а - коло Відповідь: 1) якщо r кола 18, то розв’язків 2;

Задача 2 х – у = 4, х ²+ у ² =а Якщо а≤0, то система розв'язків не має . Розглянемо випадок, коли а>0. Графік першого рівняння – пряма, графік другого – коло з центром у початку координат і радіусом √а. Якщо коло дотикається до прямої, система має єдиний розв'язок. Радіус кола при цьому – висота рівнобедреного прямокутного трикутника АОВ з катетом 4. Отже, √а = АВ/2= 2√2, а=8. Відповідь: при а8 система має два розв'язки.

При яких значеннях параметра а система має три розв’язки: х² +(у-2)²= 1 У =\х\ + а Розглянемо рівняння: Графік першого рівняння - коло з радіусом 1 з центром у точці (0;2). Графік другого рівняння - прямий кут, бісектрисою якого є вісь ординат, вершиною якого зміщується вгору або вниз, залежно від параметра а. Три точки перетину можливі лише у випадку якщо а=1. Відповідь: при а=1 система має три точки перетину. . . .

У = а + √х 2х+у-1=0 Розв’язання: Графік другого рівняння буде пряма, першого - вітка параболи, що знаходиться в І четверті, і буде рухатись по осі ординат відносно параметра а. Отже, побудуємо графіки цих рівнянь в одній системі координат. Оскільки розміщення вітки параболи буде залежати від параметра а, то: якщо а є(-∞; 1], то система має один корінь; якщо а є(1; +∞),то система коренів не має. Відповідь: 1) якщо а є(-∞; 1], то система має один корінь, 2) якщо а є(1; +∞),то система коренів не має. . . . . 1 у . 0 Визначте кількість розв’язків системи

Визначте кількість розв’язків системи 3х+у-20= у =а+√х Розв’язання: Графік першого рівняння буде пряма, другого - вітка параболи, що знаходиться в І четверті, і буде рухатись по осі ординат відносно параметра а. Отже побудуємо графіки цих рівнянь в одній системі координат. Оскільки розміщення вітки параболи буде залежати від параметра а, то: якщо а є(-∞; 2], то система має один корінь; якщо а є(2; +∞),то система коренів не має. Відповідь: 1) якщо а є(-∞; 2], то система має один корінь, 2) якщо а є(2; +∞),то система коренів не має. . . . . 1 1 у . 2 0

Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь не має розв’язку: . . . . . B ׀х ׀ + ׀у ׀= 1 х² + у²=а Розв'язання Якщо а≤0, то система розв’язків не має. Розглянемо випадок, коли а>0: Графік першого рівняння буде квадрат ABCD довжиною сторони √2 і діагоналлю 2. Графік другого рівняння – коло з центром у початку координат і радіусом √а, а>0. Система не має розв'язків, якщо коло і квадрат не мають спільних точок (див. рисунок). У першому випадку √а>1, а>1, у другому - √а< 1/√2 , а

. . . у=а у=׀х²-6 ׀х׀+8 ׀ Графіком першого рівняння буде пряма паралельна осі х; Графіком другого рівняння буде парабола,зміщена на три одиниці вправо по осі х та на одиницю вниз по осі у, і відображена відносно осі у та х по модулю. Тобто: у= |x²-6\х\+8\->у=(\x\-2)(\x\-4)\->y=\(\x\-3)²-1\ Отже при а

Знайдіть кількість розв’язків відносно параметра а: . . . . . ׀х ׀ + ׀у ׀= 1 х²+у²=а² Якщо а≤0, то система розв’язків не має. Розглянемо випадок, коли а>0: Графік першого рівняння буде квадрат ABCD з довжиною сторони √2, і при перетині його з осями координат утвориться 4 прямокутних рівнобедрених трикутника, висота кожного з них дорівнює радіусу вписаного кола ( якщо б коло дотикалось до сторони квадрата ), то знайдемо довжину радіуса кола, при дотику, або висоту трикутника: х²+у²=а²=> х²+у²=r²=> r²=а²=> √r²=√а² => r=|a|. 1. АВ²=1²+1², АВ= √2; 2. Висота і медіана у прямокутному рівнобедреному трикутнику дорівнює половині гіпотенузи, тому висота і медіана дорівнюють √2/2 або 1/√2 ; Оскільки висота і медіана в прямокутному рівнобедреному трикутнику дорівнюють радіусу кола при дотику, то r=a=1/√2; Тому маємо 5 випадків: 1) a< 1/√2, немає розв’язків; 2) а= 1/√2, 4 розв’язки; 3) 1/√2

. . Тобто якщо а

Скільки розв’язків має система відносно параметра а: . . . х²+у²+4х=0 х²+у²-2х=а²-2а Перетворимо дані рівняння системи: Тому маємо 5 випадків: 1) a>3, немає розв’язків; 2) а=3, 1 розв’язок; 3) 1

При якому найменшому цілому додатному значенні параметра а система рівнянь х²+у²=36 у - а²х² = а не має розв’язку? Перше рівняння задає коло радіусом 6 з центром в початку координат; друге рівняння – парабола, вітками направлена вгору (а²≥0) і з вершиною в точці (0;а) Щоб система рівнянь не мала розв’язку, необхідно, щоб ці два графіка були розміщенні так, як показано на рис., а найменше ціле додатне значення а=7. У Х 6 6 -6 -6 0

При якому найменшому додатному значенні параметра а система х²+у²=49 у = х² + а має єдиний розв’язок? Перше рівняння задає коло радіусом 7 з центром у початку координат, друге рівняння – парабола, вітками направлена вгору. Щоб система рівнянь мала єдиний розв’язок при найменшому додатному значенні а, необхідно, щоб графіки були розміщені так5, як на рис. і а=7. Відповідь: а=7. 7 7 -7 -7 Х У 0

При якому найбільшому значенні параметра а система |x|+|y|=4 х² + у²= а² має чотири розв’язки? Графік першого рівняння – квадрат з центром у початку координат і діагоналлю 8. Графік другого рівняння – коло з центром у початку координат і радіусом а. Система має чотири розв’язки, якщо коло описане навколо квадрату або вписане у квадрат. У першому випадку а=4, а у другому – а=r=½AB=½√4²+4²=½√32=2√2 У Х 4 4 -4 -4 0 А В

При якому найменшому значенні параметра а система |x|+|y|=7 х²+ (у-а)²=49 має єдиний розв’язок? Графік першого рівняння – квадрат з центром у початку координат і діагоналлю 14. Графік другого рівняння - коло з центром 7. Система рівнянь має єдиний розв’язок при найменшому значенні параметра а, якщо графіки розташовані так, як на рис. і тоді а= -14. У х 0 7 7 -7 -7 -14