Презентація на тему:
Планіметрія. Основні аксіоми планіметрії

Геометрія – це наука про просторову форму й кількісні характеристики предметів реального світу. Слово «геометрія» – грецького походження, що в перекладі українською мовою означає землемірство (назва походитьвід вимірювань на місцевості). Шкільна геометрія складається з двох частин: планіметрії і стереометрії. Планіметрія – це розділ геометрії, у якому вивчаються геометричні фігури на площині . Стереометрія – це розділ геометрії, у якому вивчаються фігури в просторі.Трикутник, круг, чотирикутник, многокутник.

Геометричні фігури – це абстрактні фігури, які нагадуютьпредмети, що нас оточують. Щоб відрізняти одну геометричну фігуру (чи поняття) від іншої, їх описують у вигляді твердження, яке називають означенням. Означення – це твердження, яке описує істотні властивості предмета, що дає змогу відрізнити його від інших. Означити всі геометричні фігури неможливо. Наприклад, точка, пряма, площина. Їх називають неозначуваними, або початковими (з яких усе починається), або основними, як називали їх у планіметрії.

Логічну побудову планіметрії можна описати за такими етапами: 1. Вибір геометричних понять, які називають основними поняттями (абстрактних фігур). 2. Формулювання основних властивостей для цих геоме- тричних понять за допомогою тверджень, які вважаються істинними без доведень. 3. Побудова інших понять, які означуються через основні поняття та їхні властивості, та тверджень, істинність яких встановлюється шляхом доведень, опираючись на відомі. .

Таку побудову науки називають аксіоматичною. Її назва походить від слова «аксіома». Це слово грецького походження, що в перекладі українською мовою означає повага, авторитет, незаперечна істина. Аксіома – це твердження, яке приймається істинним без доведення. Основні властивості найпростіших геометричних фігур, які вважають істинними бездоведення і які є вихідними під час доведення інших властивостей, називають аксіомами геометрії.

Для шкільного курсу планіметрії визначено: 1. Основні геометричні фігури (поняття) – точка, пряма. Точка – найпростіша геометрична фігура. Усі інші геометричні фігури складаються з точок, у тому числі й пряма. 2. Аксіоми планіметрії – це основні властивості найпростіших геометричних фігур. 3. Систему означень планіметричних фігур і теорем, що виражають їхні властивості.

І І₁ Яка б не була пряма,існують точки,що не належать цій прямій,і точки,що не належать їй І₂ Через будь-які дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну . Дві різні прямі або не перетинаються,або перетинаються тільки в одній точці

ІІ ІІ₁ З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між дво ма іншими ІІ₂ Пряма розбиває площину на дві пів- площини Якщо кінці будь- якого від різка нале- жать одній пів пло- щині, то відрізок не перетинає пряму. Якщо кінці відріз- ка належать різним півплощинам, то відрізок перетинає пряму

ІІІ ІІІ ₁ Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Дов- жина відрізка дорів- нює сумі довжин час- тин, на які він роз- бивається будь-якою його точкою. ІІІ ₂ Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Роз- горнутий кут дорів- нює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він роз- бивається будь-яким променем, що прохо- дить між його сторонами Якщо три точки А, В і С лежать на одній прямій, то точка С лежатиме між точками А і В у випадку, коли АВ = АС + СВ. Якщо від даної пів- прямої відкласти в одну й ту саму пів- площину два кути, то сторона меншого кута, відмінна від даної півпрямої, проходитиме між сторонами більшо- го кута

IV IV₁ На будь-якій пів- прямій від її почат- кової точки можна від класти відрізок заданої довжини і до того ж тільки один. IV ₂ Від будь-якої пів- прямої в задану пів- площину можна від- класти кут із заданою градусною мірою, меншою 180°, і до того ж тільки один. IV₃ Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорів- нює йому, у заданому розміщенні відносно даної півпрямої Якщо пряма, яка не проходить через жодну з вершин трикутника, пере- тинає одну з його сторін, то вона перетинає тільки одну з двох інших сторін

V V₁ Через точку, що не лежить на даній прямій, можна про- вести не більше як одну пряму, пара- лельну даній Якщо пряма пере- тинає одну з двох паралельних пря- мих, то вона пере- тинає й другу

Твердження, істинність якого встановлюється шляхом доведення і яке використовується для доведення інших тверджень, називають теоремою. Теорема складається з двох частин: умови і висновку. Для доведення теорем у шкільному курсі геометрії використовують в основному такі методи: а) по структурі доведення – прямий (аналітичний і синтетичний), від супротивного; б) по використанню математичного апарату – алгебраїчний,координатний, векторний і т.д.

Отже, геометрія, як і інші математичні науки, будується за такою схемою: спочатку потрібно ввести основні поняття,задати аксіоми, а пізніше, опираючись на аксіоми, виводити інші факти .

1) На промені ОХ відкладено два відрізки: ОА = 7,3 см і ОВ = 5,8 см. Визначте довжину відрізка АВ. 2) Знайдіть градусну міру кута ∟ВOM, якщо ∟AOB = 150, а ∟ВOM у 2 рази більший за ∟АOM. 3) На відрізку АВ завдовжки 48 см позначено точку О. Знайдіть довжини відрізків АО і ОВ, якщо АО : ОВ = 3 : 5.

4) Знайдіть довжини відрізків АМ і ВМ , якщо довжина відрізка АВ дорівнює 12 см, а відрізок АМ коротший за відрізок ВМ на 3 см. 5) Промінь ОМ проходить між сторонами ∟KОС, градусна міра якого дорівнює 153°. Знайдіть кути KОМ і МОС, коли відомо, що ∟МОС у 2 рази більший за ∟КОМ.