Презентація на тему:
"Степенные функции"

Подготовили

Эпиграфом нашего урока являются слова А. Эйнштейна: “Весь наш предшествующий опыт приводит к убеждению, что природа является осуществлением того, что математически проще всего представить”.

План: 1.Введение (определение) 1.1 Область определения 1.2 Рациональный показатель степени 1.3 Свойства 2 Комплексная функция Литература Примечания

Нам знакомы функции Прямая Парабола Кубическая парабола Гипербола

Степенными функциями называются функции вида у = хr, где r – заданное рациональное число Введение

1.1. Область определения Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при x > 0. Если a > 0, то функция определена также и при x = 0, иначе нуль является её особой точкой.

1.2. Рациональный показатель степени Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n. При a = 1 получается функция y = kx, называемая прямой пропорциональной зависимостью. Графики функций вида y = x − n, где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n. При a = − 1 получается функция , называемая обратной пропорциональной зависимостью. Если , то функция есть арифметический корень степени n. Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: T = kA3 / 2 (полукубическая парабола). Гиперболы порядка n: n = − 1 n = − 2 n = − 3 Параболы порядка n: n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 Гиперболы порядка n: n = − 1 n = − 2 n = − 3

1.3. Свойства Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду, где она определена. В интервале , функция монотонно возрастает при a > 0 и монотонно убывает при a < 0. Значения функции в этом интервале положительны. Производная функции:

Алгоритм решения Рассмотрим степенные функции с натуральным показателем а, принадлежащим ко множеству всех натуральных чисел. Если а≠0, то в степень а можно возвести любое действительное число. Поэтому областью определения функции у =xа является множество всех действительных чисел. С некоторыми такими степенными функциями с натуральным показателем мы уже знакомы.

Если а=0, то степень х0 определена для любого числа х≠0. При этом х0=1 функция у=х0 определена на множестве Х=(-∞; 0) и (0;∞) и её графиком является параллельная оси Ох прямая у=1 с одной «выколотой» точкой (0;1).

Если а=1, то получим функцию у = х, её графиком является прямая.

y x -1 0 1 2 у = х2 у = х6 у = х4 Показатель r = 2n – чётное натуральное число

Показатель r = 2n – чётное натуральное число 0 х у у = х2, у = х4 , у = х6, у = х8, … у = х2n Функция у=х2n чётная, т.к. (–х)2n = х2n График чётной функции симметричен относительно оси Оу.

y x -1 0 1 2 у = х3 у = х7 у = х5 Показатель r = 2n-1 нечётное натуральное число

Показатель r = 2n-1 – нечётное натуральное число х у у = х3, у = х5, у = х7, у = х9, … у = х2n-1 Функция у=х2n-1 нечётная, т.к. (–х)2n-1 = – х2n-1 0 График нечётной функции симметричен относительно начала координат – точки О.

y x -1 0 1 2 у = х-1 у = х-3 у = х-5 Показатель r - целое отрицательное нечётное число

Показатель r = – (2n-1), где n – натуральное число 1 0 х у у = х-3, у = х-5 , у = х-7, у = х-9, … Функция у=х-(2n-1) нечётная, т.к. (–х)–(2n-1) = –х–(2n-1)

y x -1 0 1 2 у = х-4 у = х-2 у = х-6 Показатель r –целое отрицательное чётное число

Показатель r = – 2n, где n – натуральное число 1 0 х у у = х-2, у = х-4 , у = х-6, у = х-8, … Функция у=х2n чётная, т.к. (–х)-2n = х-2n

y x -1 0 1 2 у = х0,5 Показатель r – положительное дробное число, 0 < r < 1

0 Показатель r – положительное дробное число, 0 < r < 1 1 х у у = х0,3, у = х0,7, у = х0,12, …

y x -1 0 1 2 Показатель r – положительное дробное число, r >1 Функция возрастает на промежутке

y x -1 0 1 2 Показатель r – отрицательное дробное число, r < 0

0 Показатель r – отрицательное дробное число 1 х у у = х-1,3, у = х-0,7, у = х-2,12, …

Примеры решения степенных функций Функция График функции- кубическая парабола. 1) Д(f)=R; 2) E(f)=R; 3) Нули функции: x=0 4) Знакопостоянство , если x (0;+ ), , если x (- ;0) 5) монотонность: Функция возрастает, если x R 6)Начало отсчета- центр симметрии

Число a- отвечает за перемещение вдоль оси ОХ; если а 0, то влево на а единиц от 0; если а 0, то вправо на а единиц от 0. Число b-отвечает за перемещение вдоль оси OY; если b 0, то вверх на b единиц от 0 ; если b 0, то вниз на b единиц от 0.

График функции- гипербола. 1) Д(y)=R, кроме х=0 2) E(y)=R, кроме y=0 3) Нули функции: нет 4) Знакопостоянство: , если , , если 5) монотонность: Функция убывает на всей области определения 6)Начало отсчета- центр симметрии.

Число а- отвечает за перемещение вдоль оси OX; если , то влево на a единиц от 0; если , то вправо на а единиц от 0. Число b- отвечает за перемещение вдоль оси OY; если , то вверх на b единиц от 0; если , то вниз на b единиц от 0.

Функция 1) Д(y)= 2)E(y)= 3) Нули функции x=0 4) Знакопостоянство: , если 5) монотонность: Функция возрастает, если