Презентація на тему:
"Пирамида"

Пирамида

Что такое пирамида? Пирамида  — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

История развития пирамиды в геометрии. Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: Телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке. Демокрит Евдокс Книдский Евклид

Элементы пирамиды апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины; боковые грани (1) — треугольники сходящиеся в вершине боковые ребра (2) вершина пирамиды (3) — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания; высота (4)— отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра); диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания; основание (5) — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды;

Простейшая пирамида Простейшей, правильной пирамидой, является пирамида, основанием и гранями которой служат 4 равных между собой равносторонних треугольника. Основанием такой пирамиды может служить её любая грань, и пирамида независимо будет считаться - правильной. Такая Пирамида называется Тетраэдр. Двадцать таких пирамид с примыкающими гранями и сходящимися вершинами в одной точке, служат составляющими Икосаэдра, основаниями образуя его грани.

Углы пирамиды Углы простейшей пирамиды - Тетраэдра, все равны 60°, как в треугольнике лежащем в основании, так и в треугольниках образующих граней. Углы прямоугольной пирамиды, угол в основании, между сторонами квадрата 90°, а в треугольниках образующих граней - 60°. В диагональном сечении, в треугольнике, угол в вершине пирамиды 90°, и два угла у основания 45°.

Развёртка пирамиды Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью. Если отсек фигуры поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру — ее разверткой. Разверткой правильной прямоугольной пирамиды, будет основание, и четыре равносторонних (грани), имеющие с основанием общую сторону с основанием. Разверткой правильной пятигранной пирамиды, будет правильный пятиугольник в основании, и 5 равнобедренных , имеющих общую сторону с основанием. Разверткой Тетраэдра, будет равносторонний как основание, и такие же равносторонние присоединенные обшей стороной к сторонам основания.

Свойства пирамиды Если все боковые ребра равны, то: около основания пирамиды можно описать окружность, вершина пирамиды проецируется в её центр; боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы. также верно и обратное, т. е. если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то: около основания пирамиды можно описать окружность, вершина пирамиды проецируется в её центр; боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы. также верно и обратное, т. е. если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Формулы, связанные с пирамидой Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где S — площадь основания и  h — высота; Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле: где a1,a2— скрещивающиеся рёбра, d — расстояние между a1 и a2 , — угол между a1 и a2;   Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

Формулы, связанные с пирамидой Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания: Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы: где  a — апофема, P — периметр основания, n — число сторон основания, b — боковое ребро,  — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами: боковые ребра правильной пирамиды равны; в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники; в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу; если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания; площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды. Особые случаи пирамиды

Усечённая пирамида Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Интересные факты Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.

Пирамиды в жизни

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!