Презентація на тему:
Основи комбінаторики, ймовірністі та статистики

Основи комбінаторики, ймовірністі та статистики Робота вчителя математики ЗОШ № 10 м. Сміли Суліменко М.Ф. 2010 р.

Комбінаторика Існують задачі, в яких треба визначити, скільки різних підмножин можна утворити з елементів даної множини. Їх називають комбінаторними задачами. А розділ математики про розв'язування комбінаторних задач називають комбінаторикою.

Правило суми Якщо елемент а можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір “ a або b “ можна здійснити m + n способами – правило суми . Наприклад, якщо на столі лежать 8 яблук і 3 груші, то один із фруктів можна вибрати 8 + 3 = 11 способами .

Правило добутку Якщо елемент а можна вибрати b способами , а після цього елемент b можна вибрати n способами, то вибір “ a і b “ можна здійснити m · n способами – правило добутку. Наприклад, якщо на столі лежать 8 яблук і 3 груші, то вибрати пару фруктів - яблуко і грушу можна 8 · 3 = 24 способами.

Перестановки Будь – яка впорядкована множина ( порядок елементів істотний ), яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів. Рn ─ число перестановок з n елементів. Рn = n ! , де n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·( n – 1) · n, ( 0! = 1).

Розміщення. Комбінації Будь – яка впорядкована підмножина з п елементів даної множини, яка містить т елементів ( п ≤ т ), називається розміщенням з т елементів по п. Будь – яка підмножина з п елементів ( порядок елементів не істотний) даної множини, яка містить т елементів, називається комбінацією з т елементів по п.     

Основи теорії   ймовірностей Одним із найважливіших розділів сучасної математики є теорія ймовірностей. Основне її поняття – ймовірність ( або імовірність ) події. Подіями в теорії ймовірностей називають результати (наслідки) випробувань чи спостережень.

П о д і ї Подію називають неможливою, якщо вона ніколи не може відбутись, достовірною або імовірною – якщо завжди відбувається. Якщо подія може відбутися або не відбутися, її називають випадковою. Рівноможливі події – події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.   Подія Ā називається протилежною події А, якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається подія А. Р ( Ā ) = 1 – Р ( А ).

Класичне означення ймовірності Ймовірність випадкової події А називається відношення кількості подій, які сприяють цій події, до кількості всіх рівноможливих подій, які утворюють певну групу подій під час певного випробування. Р (А) = , де Р (А) – ймовірність події А, 0 ≤ Р(А) ≤ 1. т – кількість подій, що сприяють події А: п - кількість усіх рівноможливих подій, які утворюють певну групу подій під час певного випробування.

Ймовірність суми двох несумісних подій Сумою подій А і В називається подія А + В, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія А або В. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій : Р( А + В) = Р(А) + Р(В).

Ймовірність добутку двох подій Добутком подій А і В називається подія А · В, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбуваються обидві події А і В. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої події, яка обчислюється за умови, що перша подія вже відбулася: Р ( А · В ) = Р ( А ) · РА ( В ), де Р(В) – ймовірність події В за умови, що відбулася подія А.

Незалежні події. Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних подій Подія В називається незалежною від події А, якщо поява А не змінює ймовірності події В. Тоді РА(В) = Р(В) і Р(АВ) = Р(А) · Р(В).   Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних подій А1, А2, ..., Ап можна обчислити за формулою: Р( А1 + А2 + ... + Ап ) = 1 – ( 1 – Р(А1)) · ( 1 – Р(А2)) · ... · ( 1 – Р(Ап)).

Формула Бернулі Нехай проводять п незалежних експериментів, у кожному з яких подія А може відбутися, а може й не відбутися. Ймовірність того, що подія А відбудеться, у кожному з експериментів однакова і дорівнює р, а ймовірність того, що подія А не відбудеться, дорівнює q = 1 – p. Тоді ймовірність того, що в п незалежних експериментах подія А відбудеться точно т разів обчислюється за формулою Бернулі :

Перші відомості про статистику Статистика – це наука, яка займається збиранням, обробкою і вивченням різних даних, пов'язаних з масовими явищами, процесами та подіями. Предметом вивчення статистики є вивчення кількісної сторони явищ. Статистика вчить, як проаналізувати інформацію, виявити та оцінити закономірності формування, розвитку та взаємодії складових за своєю природою соціально-економічних явищ.

Математична статистика Математична статистика – це розділ математики, присвячений математичним методам систематизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків ЇЇ основне завдання – розробляти ефективні методи вивчення великих сукупностей об єктів на основі порівняно невеликих вибірок. Її широко застосовіють соціально-економічні дисципліни та інші галузі, а саме: астрономія ( розподіл і рух зірок у небесному просторі), фізика ( термодинаміка), біологія ( закони спадковості), гідрологія ( прогноз погоди), індустрія ( контроль якості виробів) тощо.

Статистичне спостереження Першим етапом будь-якого дослідження є збирання інформації, а саме, статистичне спостереження. Статистичне спостереження – це спланований, науково організований збір масових даних про соціально-економічні явища та процеси. Приклади статистичних спостережень: перепис населення; реєстрація шлюбів у загсах; телефонне опитування та інші.

Вибірка Статистичні відомості про якусь велику сукупність об'єктів (генеральну сукупність) одержують здебільшого в результаті аналізу тільки незначної її частини – вибірки. Кожний елемент вибірки називають її варіантою. Вибірка, одержана в результаті спостережень, буває невпорядкованою. Упорядкувавши її, дістають варіаційний ряд. Різниця між крайніми членами варіаційного ряду – розмах вибірки.

Мода. Медіана. Середнє значення. Мода вибірки – її варіанта з найбільшою частотою ( найчастіше трапляється в даному ряді розподілу). Медіаною вибірки – число, яке “поділяє” відповідний варіаційний ряд навпіл: якщо кількість чисел ряду непарна, то медіана – це число розміщене посере- дині; якщо ж кількість чисел ряду парна, то медіана – це середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині. Середнім значенням вибірки називають середнє арифметичне усіх її варіант.

ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ - І варіант 1. Скількома способами можна вишукувати в колону по одному шість учнів ? 2. Скільки можна написати трицифрових чисел з різними цифрами, не використовуючи цифри 0 ? 3. Виготовлено 10 виробів. Для вибіркового контролю треба взяти 2 з цих десяти виробів. Скількома способами можна це зробити ? 4. В урні лежать десять однакових за розміром кульок: сім білих і три чорних. Кульки перемішані. Знайти ймовірність того, що навмання вийнята кулька біла.

ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ - ІІ варіант 1. Скільки чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 0 , 1, 2, 3 так, щоб жодна з них в числі не повторювалась? 2. Скількома способами можна обрати президію з трьох учнів на класних зборах, де присутні 20 учнів ? 3. Знайти ймовірність того, що прикиданні грального кубика випаде парне число ? 4. Стрілець зробив 10 пострілів. Імовірність влучення при кожному пострілі р = 0,7. Яка ймовірність того, що він влучив 8 раз ?

ВІДПОВІДІ до вправ для самостійного РОЗВ'ЯЗУВАННЯ . І – варіант 1) 720 2) 504 3) 45 4) 0,7 ІІ – варіант 1) 18 2) 1140 3) 0,5 4) 0,23

Тренувальний тест Завдання з вибором однієї правильної відповіді 1. Якщо з цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7,8 скласти трицифрові числа так, що цифри в числі не повторюються, то таких чисел буде: А 21 Б 7 В 210 Г 343 Д 147   2. З 10 книжок, які стоять на полиці, вибирають три. Скількома способами їх можна вибрати. А 210 Б 30 В 13 Г 7 Д 120    

3.     Скількома способами з 10 кандидатів можна вибрати 3 –х членів журі олімпіади з математики ? А 120 Б 30 В 60 Г 3 Д 720  4.     Неможливою є подія: А – при одному пострілі по мішені вибили 7 очок; Б – при підкиданні монети випав герб; В – при вийманні однієї карти з колоди вийняли десятку; Г – при підкиданні двох гральних кубиків випало 13 очок; Д – при купівлі лотерейного білета купили виграшний білет.

Завдання на встановлення відповідності Установіть відповіднсть між завданнями та відповідями, що їм відповідають: 5. В сім’ї п’ять дітей. Ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того, що серед цих дітей: а) два хлопчика; А) 0,48 б) не більше двох хлопчиків; Б) 0,62 в) більше двох хлопчиків; В) 0,36 г) не менше двох і не більше Г) 0,31 трьох хлопчиків; Д) 0,52

Завдання відкритої форми з короткою відповіддю 6. Дано вибірка деякої випадкової величини Х: 1; 2; 8; 4; 2; 3; 5; 4; 2; 3. Знайти середнє значення, моду й медіану, у відповідь записати суму цих величин. Відповідь: _______ Скількома способами можна вибрати 3 олівці та 2 ручки із 5 різних олівців і 4 різних ручок? Відповідь: _______

Оцінювання завдань різних форм тесту з математики Завдання кожної форми оцінюються за відповідною системою. Завдання з вибором однієї правильної відповіді : 0 або 1тестовий бал . Завдання на встановлення відповідності (логічні пари) : 0, 1, 2, 3, 4 тестових бали. Завдання з короткою відповіддю: 0 або 2 тестових бали .

В і д п о в і д і : Завдання з вибором однієї правильної відповіді: 1) В ; 2) Д; 3) А; 4) Г. Завдання на встановлення відповідності: 5) а) - Г) 0,31; б) - А) 0,48; в) - Д) 0,52; г) - Б) 0,62. Завдання з короткою відповіді: 6) 8,4; 7) 60.

Література: 1. Є.П.Нелін, О.Є.Долглва. Алгебра і початки аналізу. 11 клас, 2006. М.І. Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. Алгебра і початки аналізу. 11 клас, 2006. Г.П.Бевз. Алгебра і початки аналізу. 10-11кл.2006. О.М.Роганін, О.І.Каплун. Математика за всією шкільною програмою. Практичний довідник. 2008. М.І.Бурда, О.Я.Біляніна, О.П.Вашуленко, Н.С.Прокопенко. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики, 11 клас, 2009.