Презентація на тему:
Прогресії навколо нас

Прогресії навколо нас 9 клас Алгебра

Означення і властивості (аn)-арифм. прогресія аn+1 = аn + d; (аn)-n-й член арифметичної прогресії є середнім арифметич- ним двох сусідніх з ним членів. аn = Якщо (аn)- скінченна арифметич- на прогресія, то Будь-яка арифм. прогресія (аn) може бути записана формулою аn = kn+b, де k i b – числа. (вn)-геометр.прогресія вn+1 = вn . q (вn)- n-й член геометричної прогресії є середнім геометрич- ним двох сусідніх з ним членів. вn = Якщо (вn)- скінченна геометрична прогресія, то

Формула n-го члена арифметичної та геометричної прогресії та їх суми (аn)-арифм. прогресія аn = а1 + d (n – 1). (аn)- арифм. прогресія Sn = n; Sn = (вn) - геометр.прогресія bn = b1 . qn-1; (вn) - геометр.прогресія 1) 2) 3)

Усні вправи 1. Відгадати число: 55 59 63 ?

Обчислити: 33 – 7 = (22 + 6) . 22 = 24 . 5 = 23 . 20 = 25 . 10 = (20 + 210) – 404 = Яку залежність ви побачили? Усні вправи

Знайди помилку. 1) аn = 2n + 1; 6) Sn = . n; 2) хn= n2 – 8n; 7) xn+1 = xn + d; 3) bn = b1 + d . (n – 1); 8) Sn = ; 4) an = a1 + 8d; 9) yn = 2n; 5) cn = c1 . qn-1; 10) zn = n2. Назвати номер неправильної формули, якщо така є. Усні вправи

Чи будуть всі написані послідовності арифметичними прогресіями? 5, 7, 9, 11, … 20, 10, 0 , -10, … 2, 4, 6, 8, … 1, 2, 6, 8, … 15, 3, -9, … Вказати номер послідовності, яка не є арифметичною прогресією. Усні вправи

Чи будуть всі написані послідовності геометричними прогресіями? 2, 4, 8, 16, … 200, 20, 2, … 3, -6, 12, … 1, 4, 16, 64, … 8, 4, 0, -4, … Вказати номер послідовності, яка не є геометричною прогресією. Усні вправи

Знайти невідомі елементи в даній прогресії: (аn) - арифметична прогресія, а1 = 3, а2 = 10. 1) d - ?; 2) a4 - ? (аn) - арифметична прогресія, а1 = 3, d = 2. 3) а7 - ?, 4) а9 -?, 5) а12 - ?. (вn) - геометрична прогресія, в1 = 40, q = . 6) в2 -?, 7) в3 - ?, 8) в4 -?.

bn = b1. qn – 1 Sn = аn = 2n + 1

Шахову гру винайшли в Індії. Ознайомившись з нею, індійський принц Сирам, захоплений дотепністю і різноманітністю можливих ситуацій, покликав до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав йому: “Я хочу гідно нагородити тебе, Сета, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я досить багатий, і можу виконати будь – яке твоє бажання”.

Задача 1. (Легенда про винахід шахів) Розв’язання. Маємо геометричну прогресію (вn), в якій в1=1, в2=2, в3= 4…. q = 2. В шахівниці 64 клітинки. Тому S64= 18 446 744 073 709 551 615. Таку кількість зернин можна зібрати з площі, яка приблизно у 2000 разів більша від площі усієї поверхні Землі.

Задача 2 . (Забавна арифметика, 1910 р.) Одного разу розумний бідняк попросив у скупого багатія притулку на 2 тижні на таких умовах: «За це я тобі першого дня заплачу 1 крб., другого – 2 крб., третього 3 крб., збільшуючи щоденну плату на 1 крб. Ти ж будеш давати мені милостиню: Першого дня – 1 коп., другого дня – 2 коп., третього – 4 коп., і т.д. збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Багатій з радістю погодився, вважаючи, що умови вигідні для нього. Скільки грошей отримав багатій?

Розв'язання: Сума, яку має сплатити бідняк за 14 днів, складає арифметичну прогресію, в якій а1 = 1 і d =1, S14= 105, тобто 105 крб., а багатій сплачує суму, яка складає суму геометричної прогресії, в якій а1 = 1, q = 2. Тому S14 =214-1= 16383 коп. або 163 крб.83 коп. Отже, багатій, отримавши від бідняка 105 крб., заплатив йому 163 крб.83 коп., тобто, за те, що бідняк у нього проживав 2 неділі, багатій заплатив йому 58 крб.83 коп. (вернувши при цьому і ті гроші, які одержав від бідняка).

Воїну, що служив, дано винагороду: за першу рану –1 коп., за другу – 2 коп., за третю – 4 коп. і т.д. Виявилося, що він одержав винагороду 655руб. 35 коп. Скільки ран було у воїна?

Розв'язання: Маємо геометричну прогресію, в якій в1= 1, в2 = 2, в3 = 4, в4=8 і т.д., q = 2, Sn = 65535. Тоді 1+2+4+ 8+ ….+2n-1 = 65535. 65535 = 2n - 1 = 65535, n = 16. Тобто за такої великодушної системи нагородження воїн повинен одержати 16 ран і залишитися живим, щоб «удостоїтися» винагороди 655руб. 35 коп.

1,3,6,10,15…… 1,4,9,16…n2

Задача 4. Кулі розміщено у формі трикутника так, що в першому ряду –1 куля, у другому - 2 кулі, у третьому – 3 кулі і т.д. У скільки рядів розміщено кулі, якщо всього їх 120? Розв’язання. Маємо арифметичну прогресію, в якій а1 =1, а2= 2, а3= 3, d = 1, Sn = 120, n - ? Sn = n(n+1) = 2 .120, n2 + n - 240 = 0, n1 = 15, n2=-16 – не задовольняє умови задачі. Тому 120 куль можна розмістити в 15 рядах.

Задача 4. Поливання грядок У городі 30 грядок, кожна довжиною 16м і шириною 2,5м. Поливаючи грядки, городник приносить відра з водою з колодязя, розташованого в 14м від краю городу, і обходить грядки вздовж межі, причому води, принесеної за один раз, вистачає для поливання лише однієї грядки. Якої довжини шлях проходить городник, поливаючи весь город? (Шлях починається і закінчується біля колодязя.)

Розв'язання: Для поливання першої грядки городник проходить шлях 14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 14 = 65 (м). Для поливання другої грядки він проходить шлях 14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 + 14 = 70 (м). Для кожної наступної грядки потрібно пройти шлях, на 5м довший за попередній. Маємо арифметичну прогресію: 65, 70, 75, … S30 = 30 = 4125 (м). Відповідь: Городник, поливаючи город, проходить шлях 4,125 км.

Задача 6. Бактерія, потрапивши в організм, до кінця 20–ї хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця 20-ї хвилини знов ділиться на дві і т.д. Скільки бактерій стане в організмі через добу? Розв’язання. Маємо геометричну прогресію, в якій в1 = 1, в2 = 2, в3 = 4, q =2 . За добу бактерія поділиться 72 рази (24год.=1440хв., 1440хв : 20хв = 72). Тому S72= бактерій.

Знайти суму нескінченної геометричної прогресії Розв'язання: В даній нескінченній геометричній прогресії в1 = 1, q = . Тому шукана сума S =

Задача з єгипетського папірусу Розділи 10 мір хліба на 10 чоловік так, щоб кожний одержав на міри більше, ніж попередній. Розв'язання. Треба знайти перші 10 членів арифметичної прогресії (аn ), в якій n=10, Sn=10, d= . Тоді використовуючи формулу суми n перших членів арифметичної прогресії отримуємо звідки і . Тоді

Розв'язування задач І рівень (вn ) - геометрична прогресія, в1 = 3, q = 2. в5 - ? ІІ рівень (вn ) - геометрична прогресія, в2 = 6, в4 = 24, в6 - ? ІІІ рівень Знайти суму 20 перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо а7=18,5, а17 = -26,5.

Перевірка результатів І рівень. b5= b1. q4, b5= 3 . 24 = 48, b5= 48. ІІ рівень. b4= b2. q2, q = 2 . b6= b4 . q2, b6= 96 III рівень. а17=а7+10d; d= ; d=-4,5. a7= a1+6d, a1= a7 - 6d, a1= 45,5. S20= = 55, S20=55.

Рефлексія.

Дякую за співпрацю і до зустрічі !

Література Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика. 5-12 класи.- К.: Ірпінь, 2005. Кравчук В., Підручна М., Янченко Г. Алгебра:Проб. Підруч. Для 9 кл./За ред. З.І. Слепкань.- Тернопіль: Підручники і посібники, 2003. Бевз Г.П. Алгебра: Проб. підруч. Для 7-9 кл. – К.:Освіта, 2000. Мальований Ю.І., Литвиненко Г.М., Возняк Г.М. Алгебра: Підруч. для 9 кл. – Тернопіль: навчальна книга - Богдан, 2009. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з алгебри. 9 клас/ М.І.Бурда, О.Я.Біляніна, О.П.Вашуленко, Н.С.Прокопенко. - Х.:Гімназія, 2007. Журнал « Все для вчителя» № 22-23, 2003. Газета « Математика» № 2, 3 2002; № 2,3 ;2003, № 6, 2004 ; № 2, 14, 2005; № 6 2007.