Презентація на тему:
Піфагорійський союз

Про життя Піфагора відомо небагато. Він народився в 580 р. до н.е. в Стародавній Греції на острові Самос, який знаходиться в Егейському морі біля берегів Малої Азії, тому його називають Піфагором Самоським

Великий давньогрецький вчений Піфагор уперше висловив гіпотезу про кулястість Землі: «Все в природі має бути гармонійно і досконало. Земля теж повинна бути досконала. Але найдосконаліше з геометричних тіл є куля. Стало бути, Земля - куля! »

Давньогрецький математик і філософ Піфагор, який розглядав людське життя в аспекті пір року, пропонував розрізняти в ній чотири сезони: весну (дитинство), літо (молодість), осінь (зрілість), зиму (старість).

Антична доба – період якісних змін в історії людства, період народження нових форм суспільного й культурного життя, що найперше виявились у створенні держав-полісів, переході до приватної власності, зміні способу життя людини, її відносній мобільності. Люди, вчив Піфагор, не можуть жити, коли вони певним чином не організовані і коли відсутні ті, хто бере на себе відповідальність за управління суспільством і його структурами.. Найгіршим є те суспільство, вважали піфагорійці, де панує безладдя.

Піфагор Самоський (грец.. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, лат. Pythagoras; 570-490 рр. до н. е.) - давньогрецький філософ і математик, творець релігійно-філософської школи піфагорійців. Батьками Піфагора були Мнесарх і Партеніда з Самоса. Піфагор народився в Сидоні Фінікійське приблизно в 570 до н. е. Він зустрівся мало не з усіма відомими мудрецями тієї епохи, греками, персами, халдеями, єгиптянами, ввібрав у себе все накопичене людством знання.

Єгипет щоб набратися мудрості і таємних знань у єгипетських жерців. Тиран Полікрат забезпечив Піфагора рекомендаційним листом до фараона Амасісу, завдяки чому він був допущений до навчання і посвячений в таїнства, заборонені для інших чужинців. Ямвліх пише, що Піфагор у 18-річному віці залишив рідний острів і, об'їхавши мудреців в різних країнах світу, дістався до Єгипту, де пробув 22 роки. Після смерті батька Піфагор вирушає до Мілета, де його вчителями були Ферекід, Анаксимандр і Фалес. Саме за порадою Фалеса Піфагор, у віці 20 років, їде до Єгипту,

З Єгипту його віддав у Вавілон в числі полонених перський цар Камбіз, який завоював Єгипет у 525 до н . е. У Вавілоні Піфагор пробув ще 12 років, спілкуючись з магами. Нарешті зміг повернутися на Самос в 56-річному віці, де співвітчизники визнали його мудрою людиною.

Піфагор вважав, що його вчення співвітзниками оцінено недостатньо. Тому він виїхав до Італії, вважаючи своєю вітчизною країну, де більше здатних до навчання людей. Піфагор оселився в грецькій колонії Кротоні в Південній Італії, де знайшов багато послідовників.

Учні Піфагора утворили свого роду релігійний орден, або братство присвячених, що складається з касти відібраних однодумців, що буквально обожнюють свого вчителя і засновника. Цей орден фактично прийшов у Кротоні до влади, проте через антипіфагорійскі настрої наприкінці VI ст. до н. е. Піфагору довелося піти в іншу грецьку колонію Метапонт, де він і помер.

Досягнення: 1) досліджував властивості чисел і пропорцій; 2) довів теорему, яка названа його ім'ям.

Бюст Піфагора в Капітолійському музеї в Римі Піфагор на фресці Рафаеля (1509 р.) Монета з зображенням Піфагора Шартрський собор (статуя Піфагора) Ты же будь твёрдым: божественный род присутствует в смертных, Им, возвещая, священная всё открывает природа. Если не чуждо это тебе, ты наказы исполнишь, Душу свою исцелишь и от множества бедствий избавишь. Яства, сказал я, оставь те, что я указал в очищеньях И руководствуйся подлинным знанием — лучшим возничим. Если ты, тело покинув, в свободный эфир вознесёшься, Станешь нетленным, и вечным, и смерти не знающим богом. “Золоті вірші” Піфагора

Історія піфагорейського союзу.

Історію піфагорейського союзу можна розділити на шість частин: 1. Організація піфагорейського союзу Піфагором - остання третина VI ст. до н.е. 2. Політичне панування піфагорейського союзу - перша половина V ст. до н.е. 3. Розгром союзу в середині V ст. до н.е. 4. Піфагорійська діаспора - друга половина V ст. до н.е. 5.Архит Тарентський і його група - перетворення піфагореїзму в науку, втрата ним не тільки міфологічних пережитків, але і філософських підстав – перша половина IV ст. до н.е. 6.Піфагорійці під Фліунте - останні з піфагорійців - середина IV ст. до н.е.

Піфагорійський спосіб життя. Піфагорійський спосіб життя спирався на своєрідну ієрархію цінностей. На перше місце в житті піфагорійці ставили прекрасне і благопристойну, на друге - вигідне й корисне, на третє ж - приємне. До прекрасного й благопристойному піфагорійці відносили і науку.

Статут союзу Статут піфагорейського союзу визначав умови прийому до союзу і спосіб життя його членів. У союз приймалися лише особи обох статей тільки вільні, що витримують багаторічну перевірку своїх розумових і моральних якостей. Власність була спільною. У союзі було два ступені. Акусматікі (послушники) засвоювали знання догматично, а математики (вчені) займалися складнішими питаннями,які викладалися їм із обґрунтуванням. Піфагорійський союз був закритою організацією, а його вчення - таємним.

Спосіб життя Піфагорійці вставали до сходу Сонця. Прокинувшись, вони робили мнемонічні вправи, після чого йшли на берег моря зустрічати схід Сонця. Потім обмірковували майбутні справи, робили гімнастику, трудилися. Увечері вони здійснювали спільне купання, після чого всі разом вечеряли і здійснювали їхні литі жертви богам. Потім було спільне читання. Перед сном піфагорієць давав собі відлік у минулий день.

Піфагорійська етика В основі піфагорійської етики лежало вчення про "належному". "Належне" - це перемога над своїми низинними пристрастями, підкорення молодших старшим, культ дружби і товариськості, шанування Піфагора. Велику увага піфагорійці приділяли медицині, психотерапії і проблемі дітонародження. Вони розробляли прийоми поліпшення розумових здібностей, уміння слухати і спостерігати. Вони розвивали свою пам'ять, як механічну, так і смислову.

Мета школи Метою піфагорійської школи є виховання в її членів самовладання, моральної урівноваженості, гармонії тіла і душі. Кращими засобами для досягнення школою цієї мети вважалася, з одного боку, утриманість, що розумілася і в фізичному, і в духовному сенсі, і, з другого боку – музика, як засіб, заспокоюючий бунтівний настрій людини.

Пентаграма Піфагор стверджував, що пентаграма, являє собою математичну досконалість, так як містить в собі в себе золотий переріз (φ = (1+√5)/2 = 1,618…).

Числа Числа ж, думали вони,складаються з однакових одиниць. Так що в основі світу лежить одиниця. І ось виявляється, що в основі світу лежать, принаймні дві різні одиниці,один до одного не зводяться. Так що нерозумне, ірраціональне виявилося в самому серці світу. Піфагорійці не знали, що з цим робити. Явище неспівмірності руйнувало їх світогляд.

Теорія піфагорійців Піфагорійці вважали, що тільки математика може дати знання законів Космосу (1 — це точка, 2 — лінія, З — площина, 4 — тіло тощо). Знаходження числових закономірностей світу готувало народження суто ідеалістичної філософії. Таблицю множення, теорему Піфагора, тощо піфагорійці розглядали саме як доказ їхньої теорії світу.

Теорема Піфагора: доведення

Геометричне формулювання В прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

ДИВИСЬ! (доведення дійшло з персидських рукописів) а2+b2=с2

Доведення Евкліда В Евклідових «Началах», теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, C вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону протилежну до гіпотенузи в квадраті побудованому на гіпотенузі. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються в паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються в прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

Через подобні трикутники Нехай Δ АВС- прямокутний з прямим кутом С. Проведемо висоту СН. Δ АСН ~ Δ АВС, Δ СВН ~ Δ АВС,ввівши позначення отримаємо: що рівносильно: додамо почленно рівності і отримаємо: або

Доведення Леонардо да Вінчі Головні елементи докази - симетрія і рух. Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (так як трикутники ABC і JHI рівні з побудови). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованим фігур CAJI і GDAB. Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури рівна сумі половин площ квадратів, побудованих на катета, і площі початкового трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, плюс площа початкового трикутника.

Доведення Вальдхейма. Цей доказ має обчислювальний характер. Можна використовувати рисунки для доказу заснованого на обчисленні площ двома способами. Для того щоб довести теорему користуючись першим рисунком достатньо тільки виразити площу трапеції двома шляхами. Отримаємо a²+b²=c²

Геометричне доведення, Китай, ІІ ст до н.е. На цьому рисунку видно, що великий квадрат (a+b)² більший, ніж квадрат гіпотенузи c², на чотири прямокутних трикутники з катетами a і b, тобто на 2аb: (a+b)²= c²+ 2аb Значить, квадрат гіпотенузи дорівнює великому квадрату, зменшеному на два прямокутника зі сторонами a і b, тобто зафарбованій фігурі. А ця фігура, у свою чергу, дорівнює сумі квадратів зі сторонами a і b.

У класичному китайському трактаті "Математика в дев'яти книгах" (II ст. до н.е. ) остання книга називається " Гоу-гу" і присвячена завданням, розв'язуваним за допомогою теореми Піфагора. От приклад такого завдання. Є водойма зі стороною в 1 чжан (10 чи). У центрі його росте очерет, який виступає над водою на 1 чи. Якщо потягнути очерет до берега, то він саме торкнеться його. Запитується: яка глибина води і яка довжина очерету? Нехай глибина водойми x чи. Тоді довжина очерету (x + 1) чи. Оскільки очерет росте в центрі водойми, то відстань від нього до берега 5 чи. За теоремою Піфагора квадрат цієї довжини дорівнює сумі квадратів глибини водойми й відстані від центру до берега, тобто

Визначити довжину планки, яка спочатку вертикально притулена до стіни, а потім нахиляється так, що її верхній кінець опускається на три лікті, а нижній відходить від стіни на 6 ліктів. Нехай довжина стержня x ліктів. Тоді за теоремою Піфагора

Задача. Скільки потрібно фарби на зафарбовування фігури, яка складається з п’яти рівних прямокутних рівнобедрених трикутників, якщо на 1 кв.метр витрачається 300 г фарби?

У науці, зокрема, в математиці, упродовж віків робилися спроби подачі того чи іншого матеріалу у віршованій формі. Але при цьому, як правило, діяли за принципом, який можна сформулювати так: дощенту зруйнуємо – але заримуємо. Не уникла цієї долі і теорема Піфагора – одна з перлин геометрії. І хоча в більшості її перекладів домінує дидактичний елемент, відсуваючи літературні аспекти на задній план, усе таки трапляються і щасливі випадки, коли поезія гармонійно поєднується з геометрією. До таких винятків, без сумніву, належить сонет відомого німецького поета ХІХ століття Альберта фон Шаміссо. Так німецький письменник-романіст Шаміссо, який на початку XIX ст. був учасником кругосвітньої подорожі на російському кораблі написав сонет:

Теорема Піфагора. Як істину відкрив – сіять їй вічно, Вона нам – найнадійніша опора: Так в древній теоремі Піфагора Донині бездоганно все й логічно. Богам дарунок щедрий був й незвичний За те, що осяйнуло його вчора: Чекала 100 биків розправа скора,- В віках луна їх рев жертовний зично. З тих пір бики жахаються й тремтять, Як істину нову явля прогрес, Безсилі їй на перешкоді стать, Й зливається їх рев в жалобний хор,- Знов древній страх той в генах їх воскрес, Що в них колись вселив ще Піфагор.

Виділення музики в самостійний вид мистецтва відбувалося в період розкладу первісного строю. В цю епоху в міфах різних народів фіксують уяву про музику як могутню силу, що здатна керувати природою, приборкувати тварин та зцілювати людей. Музична культура рабовласницьких та ранньофеодальних країн стародавнього світу характеризується широкою діяльністю професійних музикантів, що служили в храмах, при дворах знаті, брали участь в масових обрядах. Вперше окрім практичної та духовної функції в музиці починає відособлюватися естетичні функції — так в Стародавній Греції проводились змагання музикантів, що виконували піснеспіви та інструментальні п'єси. Розвиваються різні пісенні і танцювальні жанри, в багатьох із них музика, поезія і танець зберігають первісну єдність. Виникають перші системи нотної фіксації (клинописна, буквенна), хоча переважаючою формою залишається усна. Виникають перші музично-естетичні вчення (напр. в Китаї — Конфуція, В Греції — Піфагора, Платона, Аристотеля, в Римі — Лукреція Кара). Музика розглядається на практиці і в теорії як вид діяльності, близький науці, ремеслу, релігії; як засіб впливу на природу (магія) та людину (виховання моральних якостей), в зв'язку з чим встановлювалась сувора суспільна або державна регламентація використання музики різних видів (в тому числі окремих ладів)

Піфагор і музика

Народився: пр. 580 – 572 до н. е. Помер: пр. 500 – 490 до н. е. Школа/Традиція: Піфагорейство Основні інтереси: метафізика, музика, математика, етика, політика Значні ідеї: Musica universalis, золотий перетин, піфагорейський лад, теорема Піфагора

Піфагор навчав медицині, принципам політичної діяльності, астрономії, математиці, музиці, етиці. З його школи вийшли відомі політичні та державні діячі, історики, математики та астрономи. Це був не лише вчитель, але й дослідник. Дослідниками ставали і його учні. Піфагор розвивав теорію музики й акустики, створив відому «піфагорійську гаму». Філософське вчення Піфагора

У житті немає нічого іншого, до чого варто прагнути, окрім як до відчуття музики... гармонійної основи буття. Герман Гессе Піфагор, Аристотель, Платон звертали увагу сучасників на цілющу силу впливу музики, що, на їхню думку, встановлювала пропорційний порядок і гармонію у всьому Всесвіті, у тому числі порушену гармонію в людському дусі й тілі. Піфагор відкрив, що сім модусів, або ключів (нот), грецької системи музики мають силу порушення різних емоцій. Його послідовники, що ставили число на службу здоров'ю тіла й духу, розглядали музику як найважливіший лікувальний засіб. Обробку музики (додання їй форми) піфагорійці називали "гармонією". Але із цим терміном не слід ототожнювати сучасний термін "гармонія", що прийшла із грецького й означає "зв'язувати, влаштовувати". Отже, була гармонія. У музиці вони бачили одні з найважливіших ліків, здатних упорядковане число поставити на службу тілесно-духовному здоров'ю. Музично-математичні відносини, як вони вважали, виражають загальні закономірності, які лежать у підставі світобудови. Не дивно, що в ті часи музика була третьою математичною дисципліною після арифметики й геометрії. Суть зводилася до наступного: музика є вираження гармонії Космосу, що при проходженні його порядку в стані спокою привести людину до внутрішньої гармонії. Остання має вирішальне значення в збереженні здоров'я. Відновлення гармонії - головний шлях до зцілення. Музика ж, що має за опору гармонію як на корінну свою властивість, здатна вести живих істот до досконалості. Яким чином? Переживанням гармонії, тобто цілісності. Адже звичайна людина усвідомлює себе у відчуженні від цілого, від миру, у той час як фізично він злитий з ним. У цій внутрішній роздвоєності - джерело всіх проблем. Психічне теж належить цілісності, і це треба усвідомити, відчути. Тому поряд з пізнавальною, аналітичною психологією існує психологія перетворююча, яка вказує шлях до знаходження цілісності

В основу піфагорійської медицини було покладено першу у світі систему добродійного життя та помірності в усьому. Велику увагу Піфагор та його учні приділяли психотерапії. Вони розробили методи поліпшення розумових здібностей,  працювали над розвитком пам’яті. Піфагору належить  відкриття терапевтичного ефекту музики. Він вважав, «що музика багато в чому сприяє здоров’ю, і весь світ у цілому має музично-числову основу». Знаменитий філософ за допомогою музики та співу впливав на хворих людей, виліковуючи багато захворювань тіла та душі. Для кожної хвороби вчений мав власний музичний рецепт. Одні мелодії він застосовував для лікування песимізму та апатії, інші — проти агресії, гніву, ще інші — для стримування бажань. На жаль, ні класифікація, ні самі мелодії не дійшли до нашого часу, але відомо, що Піфагор надавав перевагу струнним музичним інструментам. У школі Піфагора  вранці та ввечері практикували хоровий спів, який супроводжувався грою на струнних інструментах. Таким чином піфагорійці звільняли свій розум від суєти та шуму після проведеного дня і забезпечували собі спокійне та приємне сновидіння, а вставши, за допомогою співу вони знімали сонну млявість.  У Древній Греції музичному мистецтву відводилася головна роль у вихованні. Піфагор вважав, що музика, як вияв космічної гармонії, може створювати у людини такий же внутрішній порядок і гармонію, як в космосі. Піфагор вважав, що у кожної людини, як і у кожній планеті в космосі, є власна музика – МУЗИКА ЙОГО СФЕР. Вона являє собою своєрідний камертон, який приводить людину в стан повної гармонії з Природою. Вчений Піфагор (VI ст. до н. е.) в дослідах зі струною виявив, що будова музичної гами підпорядкована суворим числовим пропорціям. Як це зараз очевидно, відкриття Піфагора було для європейської науки взагалі першим законом, вираженим в явній числовій формі. Космічний апарат Cassini виявив, що кільця Сатурна випромінюють мелодію на радіочастоті. Зовнішня схожість кілець з грамплатівкою несподівано підтвердилася цікавим відкриттям. За допомогою датчиків на кораблі Cassini вчені NASA виявили, що кільця постійно «грають» мелодію з різних нот... Хоровий спів подарує спокійний сон

Немає сумніву, що музика позитивно впливає на роботу мозку, змінює емоційний стан людини, активізує енергетичні процеси організму і направляє їх на його фізичне оздоровлення. Відомо, в давнину за допомогою музики люди лікували нервові та серцево-судинні хвороби. Більше того, музикою можна навіть змінювати ріст клітин мозку: прискорюючи ріст клітин, які відповідають за людський інтелект, підвищується інтелектуальний розвиток особистості, а підвищуючи активність інших клітин мозку, можна підвищити загальний розумовий розвиток! Мабуть недаремно заняття з математики в школі Піфагора проходили тільки під музичний супровід. А давньогрецький філософ Платон стверджував, що музика є головним засобом формування відчуттів і сприйняття, від яких залежить рівень пізнання навколишньої дійсності і є чудовим впливом на виховання характеру.

Піфагор ототожнював поняття «гармонія», «досконалість» і «краса», а основою гармонії вважав число. Гармонію чисел піфагорійці шукали навіть у розташуванні планет. Серед видів мистецтва вищим носієм гармонії проголошувалася музика. При цьому підкреслювалася почуттєва природа цього мистецтва, його зв'язок з чуттям слуху. Не можна погоджуватися з визначенням музики як «мистецтво мистецтв», але в межах визнання її як носія гармонійного начала Піфагор багато зробив для розробки проблем музичного виховання, специфіки сприйняття музичного твору. Естетично особливо важливе значення має піфагорійське розуміння музики як носія душевної рівноваги, стимулювання душевного спокою. Важливе місце у філософських поглядах Піфагора посідає вчення про безсмертя душі і метемпсихоз – можливість душі втілюватися у будь-яке тіло. Згідно з цим ученням для «оживлення», «переселення» душі треба пройти через очищення – катарсис, вищою формою якого є опанування музично-числової структури Космосу. Піфагорійці виробили поняття «тетрактид» – сума перших чотирьох чисел 1+2+3+4= 10, яка включає основні музичні інтервали: октаву (2 : 1), квінту (3 : 2) і кварту (4 : 3). Ідеї Піфагора мали значний вплив на митців того часу. Вони намагалися творчо використовувати його філософсько-естетичні положення для більш глибокого опанування художніх можливостей конкретних видів мистецтв: музики, поезії, скульптури.

Великий математик і філософ всіх часів і народів Піфагор особливу увагу приділяв проблемі ритму, числа і доктрині музики сфер, де енергетичні вібрації кожної звучної планети мали своє число. Музика у піфагорійців вважалася як вчення про гармонію і ритм.

Піфагор - число і звук Гармонія, що панує у світі, не безмовна. Вона існує і як мелодія всесвіту, яку може чути чуйне вухо (і яку, за переказами, чув сам Піфагор). Адже розуміти Гармонію, так само як і наслідувати її, теж означає її "чути". Таке слухання, невід'ємне одночасно від слухняності (тобто дотримання почутому), для Піфагора має значення і богопізнання. Адже саме Бог - джерело Гармонії, і тому осягаючи Гармонію, що панує у світі, ми пізнаємо Бога. Сам зв'язок числа і звуку був відкритий Піфагором при вивченні звучної струни. Йому вдалося встановити, що збільшення або зменшення довжини струни дозволяє точно задати висоту звуку. Завдяки цьому досвіду чисто механічна операція давала можливість "схопити" таку тонку і невловиму матерію, як звук. Проста зміна довжини струни дозволяла визначати звучання. Число виразило звук, і цей досвід вселив, мабуть, Піфагору особливу упевненість в справедливості його переконань. Дійсно, такі різні елементи всесвіту як звук і предмет виявилися сполучені числом і поставлені ним в залежність один від одного.

Музичний стрій Музичний стрій - система звуковисотних відношень, що використовуються в музиці. Існує у вигляді інваріантних слухових уявлень про висоту кожної з ступенів звукоряду, які лежать в основі всієї музичної практики і звичайно фіксуються нотними та ін. знаками. Той чи інший музичний стрій можна описати рядом чисел, що відбиває відношення частот звуків - у скільки разів частота верхнього звуку інтервалу більше частоти нижнього звуку. Цей ряд чисел і визначатиме акустичні особливості даного строю. Форми прояву строю в музиці обумовлені національними особливостями музичної культури, особливостями розвитку ладогармонійної системи, вимогами до музичного слуху. На формування музичного строю значний вплив справили акустичні особливості властивості музичного звуку. На певному етапі розвитку музичної культури стрій може стати основою для виникнення нових ладових систем. Відомі 5-ступеневі та 7-ступеневі (в межах октави) темперовані строї в Індонезії, 17- та 24 ступеневі в музиці арабських країн, 22-ступеневий в Індії та ін. В Європі в період розвитку одноголосся використання отримав 7-ступеневий (пізніше - 12-ступеневий) Піфагорейський стрій. В процесі розвитку хорового багатоголосся виникла необхідність у чистому строї, який був запропонований музичними теоретиками 16 століття - Л.Фольяні, Дж. Царлино. Подальший розвиток ладотональної системи - збільшення кількості використовуваних тональностей, поява складних акордів, модуляцій - привело до нерівномірних темперацій, а потім - до появи 12-ступеневої рівномірної темперації, що здійснила енгармонічну рівність звуків і повсюдно ствердилась у 18 столітті.

Піфагорійський стрій — спосіб побудови звукоряду для настроювання музичних інструментів, запропонований Піфагором Самоським близько 550 до н. е.. Звукоряд будувався шляхом накладання чистих квінт на еталонний звук. Приклад для C-Dur Послідовно накладаючи квінти, отримуємо наступну послідовність звуків: … F - C - G - D - A - E - H … Впорядкуємо їх в порядку діатонічної гами: C D E F G A H C 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 Повний тон Повний тон Ліма Повний тон Повний тон Повний тон Ліма 8 : 9 8 : 9 243 : 256 8 : 9 8 : 9 8 : 9 243 : 256 203,91 ц 203,91 ц 90,22 ц 203,91 ц 203,91 ц 203,91 ц 90,22 ц

Проблеми піфагорейського строю Нестійка велика терція З розвитком вокального мистецтва з'ясувалось, що велика піфагорейська терція (64 : 81 або 407,82 цента) звучить напружено і тяжіє до більш стійкого інтервалу натуральної терції (4 : 5 = 64 : 80 или 386,31 цента) Незамкнутість звукоряду З розвитком поліфонії в середні віки, коли знадобилось наростити звукоряд до 12 звуків, виявилась більш серьйозна проблема - незамкнутість піфагорейського звукоряду. Після побудови 12 квінт процес не повертався в початкову точку, а зупинявся в 1/4 тону (комма) від нього. З одного боку, якщо продовжувати процес побудови нових тонів, то звукоряд буде необмеженно доповнюватися звуками, ускладнюючи виконання музики і в той же час сумнівними для доцільності використання. (Наприклад, в піфагорейскому строї ноти до-діез і ре-бемоль не співпадають, оскільки утворюются різними способами.) З іншого боку, якщо зупинити процес побудови звукоряду, то деякі інтервали будуть звучати фальшиво; приклад — остання побудована квінта (вовча квінта), яка буде на комму коротше за інших. Проблему було неможливо вирішити в рамках піфагорейського строю. Вовчу квінту можна тільки було намагатися сховати в рідко вживаних тональностях. Недосконалість строю неминучо призводило до постійних пошуків та створенню нових систем музичного строю

Натуральний стрій Натуральний стрій (также чистий або гармонічний стрій) — музичний стрій, що використує інтервали побудовані на основі обертонів. Октава (1:2), квінта (2:3), кварта (3:4), велика терція (4:5), мала терція (5:6), велики повний тон (8:9), повний малий повний тон (9:10), і діатонічний півтон (15:16). В результаті виходить гама абсолютно гармонічна начальному тону, але тільки в межах цієї тональності. І навіть в межах семиступеневої гами є фальшиві інтервали (Наприклад вовча квінта d–a, що виникає в кадансі C–F–G–C). Натуральна семиступенева шкала Цю шкалу можна розглядати як модифікацію піфагорейської шкали, в якій піфагорейська терція була замінена на натуральний (4:5) Дідім (близько 100 років після Піфагора).

Жирним шрифтом виділені ноти, які побудовані по квінтах, як в піфагорейському строї. Інші побудовані по терціях. Не вдалося при побудові шкали встановити єдиний повний тон, замість нього вийшло два різних інтервали, названі великий повний тон (8:9) і малий повний тон(9:10), які разом дають велику натуральну терцію (4:5): . C D e F G a h C 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 Великий повний тон М. повний тон півтон Б. повний тон М. повний тон Б. повний тон півтон 8 : 9 9 : 10 15 : 16 8 : 9 9 : 10 8 : 9 15 : 16 204 ц 182 ц 112 ц 204 ц 182 ц 204 ц 112 ц

Темперо ваний стрій (від лат. temeratio — правильне співвідношення, розмірність), (рівномірно темперований стрій) — музичний стрій, при якому кожна октава ділиться на певну кількість однакових ступенів. В європейській практиці октава поділяється на дванадцять рівних ступенів, що віддалені один від одного на відстань хроматичного півтону (). Такий стрій є основним в європейській музиці з XIX століття. Також у східній музиці зустрічається 24-ступенева рівномірна темперація, але вона застосовується рідше. Історія 12-ступеневий рівномірно темперований стрій виник в процесі пошуків музичними теоретиками ідеального строю. Історично попередній натуральний стрій мав низку недоліків, які зникли з введенням рівномірної темперації, зокрема кома та Вовча квінта. У нового строю було багато противників. Новий стрій порушував сувору пропорцію інтервалів, як наслідок, в акордах почали з'являтися невеликі биття. На думку багатьох теоретиків, це було замахом на чистоту музики. Андреас Веркмейстер стверджував, що в новому строї всі тональності ставали одноманітними та симетричними, в той час як в старих строях завдяки нерівномірності темперації кожна тональність мала своє неповторне звучання. В якості одного з аргументів дискусії цікавий «Добре темперований клавір» Й. С. Баха — збірник прелюдій та фуг у всіх можливих тональностях. З часом рівномірна темперація завоювала визнання і стала фактичним стандартом. Рівномірно-темперований стрій

Порівняння музичних строїв (таблиця) DO MI FA SOL SI Частоти за нотами трьох систем, Do=264 Гц Нота Натуральний стрій Піфагорейський стрій Рівномірно темперований стрій DO 264,00 264,00 264,00 275,00 281,92 279,70 RE 297,00 297,00 296,33 316,80 312,89 313,95 MI 330,00 334,13 332,62 FA 352,00 352,00 352,40 371,25 375,89 373,35 SOL 396,00 396,00 395,55 412,50 422,88 419,07 LA 440,00 445,50 443,99 475,20 469,33 470,39 SI 495,00 501,19 498,37 DO 528,00 528,00 528,00

В основу піфагорійської медицини було покладено першу у світі систему добродійного життя та помірності в усьому. Велику увагу Піфагор та його учні приділяли психотерапії. Вони розробили методи поліпшення розумових здібностей,  працювали над розвитком пам’яті.

Піфагору належить  відкриття терапевтичного ефекту музики. Він вважав, «що музика багато в чому сприяє здоров’ю, і весь світ у цілому має музично-числову основу». Знаменитий філософ за допомогою музики та співу впливав на хворих людей, виліковуючи багато захворювань тіла та душі. Основне правило - це помірність у всьому

Піфагор першим в історії медицини звернув увагу не тільки на хвору, але й на здорову людину, вважаючи здоров’я гармонією всіх елементів людського організму, поєднанням різноманітних і протилежних якостей, пов’язаних з виявленням і духовного, і тілесного життя.

Шлях до здорового і доброчесного життя Піфагор радив починати з правильного співвідношення пиття, їди та відпочинку. Кожний продукт харчування, на думку Піфагора, породжує притаманний лише цьому продукту стан душі.

Єдине, чого вимагав дотримуватися обов’язково, — це помірності в їжі та питті. Учений та його послідовники надавали великого значення у збереженні здоров’я контролю над емоціями і вчилися постійно підтримувати в собі рівний настрій. Емоційний  стан має бути помірно радісним. Піфагор учив, що ніколи не потрібно дозволяти людині робити все, що  заманеться

Шлях до ясності розуму лежить через  тренування пам’яті Піфагор розробив комплекс вправ для тренування пам’яті. Але до нас, на жаль, дійшла лише одна. Прокинувшись вранці, не вставати з постелі, доки не пригадаєш до дрібниць всю послідовність подій минулого дня, а якщо дозволяє час, то і позаминулого.

Нестриманість та здоров’я в одній людині не сумісні Піфагор проповідував серед своїх учнів найрізноманітніші способи стримування та приборкування пристрастей і вад, він вважав, що «всі хвороби та тілесні страждання — наслідок людської нестриманості». Коли душею заволодіє гнів, Піфагор радив побути на самоті, намагаючись притупити страждання душі  і вилікуватися від нього. Піфагор винайшов магічні слова і особливі мелодії для заклинання душі і її гармонізації. У момент гострого нападу гніву він радив, наприклад, піти до моря і плавати до зміни настрою.

ПІФАГОР СКАЗАВ: Не переймайся здобуванням великих знань, з усіх знань моральна наука, можливо, є найпотрібнішою, але їй не навчають. Хоч щоб про тебе думали, роби те, що вважаєш справедливим. Будь однаково байдужим і до осуду, і до похвали. . Сонце часто затьмарюють хмари, а розум — пристрасті.