Презентація на тему:
Захоплюючий світ натуральних чисел

ЗАХОПЛЮЮЧИЙ СВІТ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ Проект підготувала вчитель математики Смілянської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів № 16 Смілянської міської ради Черкаської області ПЕРЕБИЙНІС СВІТЛАНА МИКОЛАЇВНА

НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА „Усе впорядковується відповідно до чисел” Піфагор Самоський Любі діти, пропонуємо вам здійснимо невеличку подорож до країни чисел. Піфагор та його учні надавали числам дуже великого значення, вважаючи, що з їх допомогою можна виразити всі закономірності Всесвіту. Особливу увагу піфагорійці приділяли натуральним числам, оскільки натуральний ряд чисел містить дуже багато цікавого і ще не розгаданого. Тому бажаємо вам збагатити свої знання, поринувши у світ натуральних чисел.

НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА Дослідницька робота. Знайдемо всі дільники натуральних чисел, поданих у таблиці і вкажемо їх кількість. Спостереження: число 1 має один дільник; числа 2; 3; 5; 7; 11 – два дільники; числа 4; 6; 12; 15; 18; 36 – більше двох дільників. Висновок: По кількості дільників натуральні числа можна розбиті на 3 групи: - числа, що мають два різних натуральних дільники; числа, що мають більше двох натуральних дільників; число, що має лише один дільник.

НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА Натуральне число називається ПРОСТИМ, якщо воно має тільки два різних натуральних дільники: одиницю і саме це число. Натуральне число називається СКЛАДЕНИМ, якщо воно має більше ніж два натуральних дільники. Число 1 має тільки один натуральний дільник: саме це число. Тому воно не відноситься ні до простих, ні до складених.

ПРОСТІ ТА СКЛАДЕНІ ЧИСЛА Як встановити, є дане число простим або складеним? Для цього потрібно встановити, чи має це число хоча б один дільник, відмінний від самого числа і 1. Якщо такого дільника немає, то число просте, в іншому разі воно складене. Але находження дільників для великих чисел – справа нелегка. Тому для спрощення роботи складена таблиця простих чисел. Найбільше просте число в даній таблиці 997.

ТАБЛИЦЯ ПРОСТИХ ЧИСЕЛ

ПРОСТІ ТА СКЛАДЕНІ ЧИСЛА Завдання за таблицею простих чисел (усно): Назвіть перші десять простих чисел. Назвіть саме найменше просте число? Парним чи непарним є це число? Знайдіть ще парні прості числа. Зробіть висновки. Чи є числа 87; 47 простими? Назвіть всі прості числа, які більші за 40, але менші за 50. Яке просте число слідує за числом 14? Знайдіть пари простих чисел, різниця між якими дорівнює 2. Знайдіть трійки простих чисел такі, щоб різниця між кожним наступним і попереднім дорівнювала 2.

ПРОСТІ ЧИСЛА Ви, мабуть, звернули увагу, що прості числа в ряду натуральних чисел зустрічаються нерівномірно – в одних частинах ряду їх більше, а в других – менше. Але чим далі ми просуваємося по числовому ряду, тим рідше зустрічаються прості числа. Виникає питання: чи існує останнє саме велике просте число? Давньогрецький математик Евклід (бл. 365 — бл. 300 до н. е.) у своїй книзі „Начала”, що була протягом двох тисяч років головним підручником математики, довів, що простих чисел нескінченно багато, тобто за кожним простим числом іде більше просте число. Найбільшого простого числа не існує.

РЕШЕТО ЕРАТОСФЕНА Так як прості числа відіграють важливу роль у вивченні всіх інших чисел, потрібно було скласти їх список. Звісно неможливо було отримати список усіх простих чисел: ми вже знаємо, що найбільшого простого числа не існує. Але можна спробувати скласти список усіх простих чисел, що не перевищують, наприклад, мільйона. Над тим, як складати такі списки, замислився давньогрецький вчений і письменник ЕРАТОСФЕН (Ερατοσθένης, Eratosthenes) (бл.275 -194 до н. е.), що жив трохи пізніше Евкліда. Один із надзвичайно різнобічних вчених античності. Ератосфен займався філологією, філософією, хронологією, математикою, астрономією, географією, сам писав вірші і музику. За це сучасники дали йому прізвисько Пентатл, тобто Багатоборець. Інше його прізвисько, Бета, тобто „другий”, очевидно, свідчило про те, що у всіх науках Ератосфен досягає не найвищого, але чудового результату.

РЕШЕТО ЕРАТОСФЕНА Для відшукання простих чисел Ератосфен придумав простий метод. Він записував усі числа від 1 до деякого числа, а потім викреслював одиницю, яка не є ні простим, ні складеним числом, далі викреслював через одне всі числа, що йшли після 2 (тобто числа, що кратні 2). Першим числом, що лишалося після 2 було 3. Далі викреслювалися через два усі числа, що йшли після 3 (тобто числа, що кратні 3). В решті решт невикресленими залишалися тільки прості числа. Для першої сотні це: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

РЕШЕТО ЕРАТОСФЕНА Оскільки греки робили написи на покритих воском табличках або на натягнутому папірусі і чисел не викреслювали, а виколювали голкою, то таблички в кінці обчислення нагадували решето. Тому метод Ератосфена називають „решетом Ератосфена”. В цьому решеті „відсіюються” прості числа від складених. Таким чином і в наш час складаються таблиці простих чисел, але вже за допомогою обчислювальних машин. На даний час складено список перших 50 мільйонів простих чисел.

ПРОСТІ ДВІЙНІ ТА ТРІЙНІ Завдання: Користуючись таблицею простих чисел підрахуйте, скільки простих чисел в кожній з перших десяти сотень (тобто серед чисел від 1 до 100, від 101 до 200 і т. д.). Чи помітили ви деякі закономірності в розташуванні простих чисел? Висновок: Два простих числа, різниця яких дорівнює 2, називають „близнюками” або просто „двійнями”. Завдання: Знайдіть за таблицею всі пари „чисел-близнюків”. Питання: Які з них самі найбільші? Скільки таких пар є серед перших 500 натуральних чисел? Серед чисел від 500 до 1000?

ПРОСТІ ДВІЙНІ ТА ТРІЙНІ Всі пари „простих-близнюків”, окрім (3; 5) мають вид: 6n ± 1. Перші прості „числа-близнюки”: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883). На даний момент найбільшими відомими простими „близнюками” є числа 2003663613 · 2 195000 ± 1. Вчені до сих пір не знають, чи існує сама велика пара “простих-близнюків”. „Простими трійнями” називають такі три числа, у яких різниця між кожним наступним і попереднім дорівнює 2. Знайдіть такі числа в таблиці простих чисел.

Використана література: І.Я.Перельман, Н.Я.Віленкін. За сторінками підручника математики. Посібник для учнів 5—6 класів середньої школи. – М., Просвіта, 1989. А.Г.Конфорович, Г.М.Андрієвська. Історія розвитку математики (методичні вказівки). – К., Вища школа, 1980. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір. Математика, 6 клас. – Х., Гімназія, 2006. Н.Я.Віленкін, А.С.Чесноков, С.І Шварцбурд, В.І.Жохов. Математика, 6 клас. – М., Просвіта, 1991. Www.google.com.ua - пошукова система