Презентація на тему:
Осьова і центральна симетрії

Осьова і центральна симетрії

Означення Якщо точка A належить прямій l, то її вважають симетричною самій собі відносно прямої l. Наприклад, точки A і A1, у яких ординати рівні, а абсциси — протилежні числа, симетричні відносно осі ординат: Точки A і A1 називають симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром відрізка AA1:

Розглянемо фігуру F  і пряму l. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність симетричну їй відносно прямої l точку X1. Усі співставлені точки утворюють фігуру F1 : Говорять, що фігури F і F1 симетричні відносно прямої l або фігура F1 є образом фігури F при перетворенні осьова симетрія відносно прямої l. Пряму l називають віссю симетрії.

Теорема 18.1 (властивість осьової симетрії) Осьова симетрія є рухом. Доведення. Оберемо систему координат так, щоб вісь симетрії збігалася з віссю ординат. Нехай точки A(x1; y1) і B(x2; y2) належать фігурі F. Очевидно, що точки A1 (– x1; y1) і B1(– x2; y2) — їх відповідні образи при осьовій симетрії відносно осі ординат. Маємо: Отже, ми отримали, що AB = A1B1, тобто осьова симетрія зберігає відстань між точками.

Наслідок. Якщо фігури F і F1 симетричні відносно прямої, то F = F1.  Означення. Фігуру називають симетричною відносно прямої l, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно прямої l, також належить цій фігурі.

Означення Точки A і A1 називають симетричними відносно точки O, якщо точка O є серединою відрізка AA1 : Точку O вважають симетричною самій собі. Наприклад, точки A і A1, у яких абсциси і ординати — протилежні числа, симетричні відносно початку координат :

Теорема 18.2 (властивість центральної симетрії) Доведення.  Оберемо систему координат так, щоб центр симетрії збігався з початком координат. Нехай точки A(x1; y1) і B(x2; y2) належать фігурі F. Точки A1 (– x1; –y1) і B1(– x2; –y2) — відповідно їх образи при центральній симетрії відносно початку координат. Маємо:

Отже, ми показали, що AB = A1B1, тобто центральна симетрія зберігає відстань між точками. Наслідок. Якщо фігури F і F1 є симетричними відносно точки, то F = F1.   Означення. Фігуру називають симетричною відносно точки O, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно точки O, також належить цій фігурі. Точку O називають центром симетрії фігури. Також кажуть, що фігура має центр симетрії.

Дякую за увагу Учень 9-а класу Явдик Денис