Презентація на тему:
Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной. Дана непрерывная функция y=f(x), имеющая в точке А(xо;f(xо)) касательную. Угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке (xо;f(xо)) равен значению производной функции f в точке xо. к = tgα = f '(xо).

Использование геометрического смысла производной при решении задач.

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y= 2x+eх в его точке с абсциссой xo=0. Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой xo равен значению производной функции в точке xo.Найдем производную y`=2+ex и её значение в точке xo=0, т.е. 2+eo=2+1=3. Ответ: 3.

Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции y=7x-5sinx в точке с абсциссой xo=π/2. Решение. Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой xo равен значению производной функции в точке xo. Найдем производную y`=7-5cosx и значение производной в точке xo= π/2, т.е. y`(π/2)=7-5cos(π/2)=7-0=7. Ответ: 7.

Найдите т. xo ,если тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y=3x2-7x+5 в точке с абсциссой xo , равен 2. Решение. Так как тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой xo равен значению производной функции в точке xo, то tgα= y`(xo )=2. Найдем производную y`=6x-7 и решим уравнение 6 xo-7=2 xo=1,5. Ответ: 1,5.

Пусть касательная к графику функции y= f(x), проведенная в т. М(-2;-9) параллельна прямой 28x-4y+420=0. Найдите значение производной f '(-2). Решение. Значение производной f ' (-2) это угловой коэффициент касательной к графику функции y= f(x) в т. М(-2;-9). Так как эта касательная параллельна прямой 28x-4y+420=0, то их угловые коэффициенты равны. Найдём угловой коэффициент прямой: 28x-4y+420=0, 4y=28x=420, y=7x+105. k=7=kкас = f ' (-2). Ответ: 7.

В8. На рисунке изображен график производной функции y=f (x). К графику функции y=f(x) в точке с абсциссой xo =-4 проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент. Ответ: -2. К графику функции проведены все касательные параллельные прямой y=x-5,(или совпадающие с ней). Найдите число этих касательных. Ответ: 3.

В8. На рисунке изображен график производной функции y=f (x). Найдите число касательных к графику функции y=f(x), которые наклонены под углом 45о к положительному направлению оси абсцисс. Ответ: 3. 4) Найдите наибольшую из абсцисс точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс [прямой у=6]. Ответ: 4.