Презентація на тему:
"Ймовірності випадкових подій. Аналіз випадкових величин"

Виконали учні 11-А класу Михайлюк Святослав Нізієнко Костянтин Ймовірності випадкових подій. Аналіз випадкових величин

* ЗМІСТ Випадкова подія. Статистичне та класичне означення ймовірності випадкової події. Теоретико-множинний розгляд випадкових подій. Умовна ймовірність. Теореми множення ймовірностей. Теореми додавання ймовірностей. Аналіз випадкових величин

* Основні поняття теорії ймовірностей Теорія ймовірностей вивчає масові випадкові події, які характеризуються стійкою частотою їх появи. Випадковою подією в теорії ймовірності називають всякий факт, який в результаті досліду (спостереження) може відбутися або не відбутися. Різні випадкові події позначаються латинськими буквами А, В, С… .

* Сумою подій Аі називають таку подію C = Ai , яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна з подій Аі.

* Приклад. Подія A – “випадання цифри 1 при одноразовому підкиданні грального кубика”. Подія B – “випадання цифри 2 при одноразовому підкиданні грального кубика”. Сумою A+B зазначених подій є подія C – “випадання цифри, не більшої двох, при одноразовому підкиданні грального кубика”.

* Операції над подіями Добутком подій А · В називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбуваються обидві події А і В Щоб отримати добуток подій А В, треба взяти всі ті елементарні події, які одночасно сприяють обом подіям А та В. Події А та В називають несумісними, якщо А В =

* Добутком подій Аі називають таку подію яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається кожна з подій Аі.

* Приклад. Подія A – “студент отримав екзаменаційний білет з парним номером”. Подія B – “студент отримав екзаменаційний білет з номером, кратним трьом”. Добутком A×B зазначених подій є подія C – “студент отримав екзаменаційний білет з номером, кратним шести”.

* Операції над подіями Різницею А В подій А та В називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія А і не відбувається подія В. Різницю А називають подією, протилежною до події А і позначають Ā

* Означення випадкової події Випадковими подіями або просто подіями називають такі підмножини простору Ω, які утворюють деяку сукупність S, що задовольняє три основні умови: 1s. S - вірогідна подія завжди належить цій сукупності; 2s. Якщо А S, то Ā S - кожна подія належить цій сукупності разом зі своєю протилежною подією; 3s. Якщо Аi S, i N, то Аi S - для будь-яких подій, що належать даній сукупності, їх сума також належить цій сукупності. Таку сукупність S називають простором подій. Кожну підмножину , що входить до S, вважають подією, а всі інші підмножини Ω не вважають подіями.

* Простір випадкових подій Простір подій S можна утворювати багатьма способами. Головним при побудові простору подій є виконання основних властивостей подій 1s – 3s, які можна назвати правилами побудови простору подій або правилами визначення випадкових подій. Наприклад, при підкиданні грального кубика простір елементарних подій 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Нам важливо, щоб подією було випадання парної кількості очок. Тоді в S повинні входити Ω, , А = {2, 4, 6} (за умовою завдання) і Ā= {1, 3, 5} (за властивістю 2s). Cукупність , , 1, 3, 5 , 2, 4, 6 можна вважати простором випадкових подій S і при цьому кожен елемент цієї сукупності є випадковою подією. Усі інші підмножини при цьому не вважаються подіями.

* Статистична ймовірність події Нехай дано експеримент і визначено простір елементарних подій та простір подій S. Для цього експерименту проведено n випробувань і при цьому фіксована елементарна подія е відбулася m раз, 0 ≤ т ≤ n. Число m випробувань, у яких відбулася елементарна подія е називається її абсолютною частотою, а відношення m до n називається відносною частотою елементарної події е в даній серії з n випробувань. Відносна частота елементарної події е характеризує середню можливість її відбування у кожному з n випробувань. Позначається і обчислюється за формулою

* Статистична ймовірність і кількість випробувань Статистична ймовірність події може залежати від кількості n випробувань і, зрозуміло, що коли змінюється кількість випробувань, то може змінюватися і статистична ймовірність. Виникає питання – на скільки суттєві такі зміни? Розглянемо приклад. 1. В таблиці подано результати експерименту з підкиданням монети. Було проведено 10 серій з 1000 підкидань:

* Визначення ймовірності події За умови рівноможливості елементарних подій, що утворюють простір , ймовірність будь-якої події А обчислюється за формулою де k – кількість елементарних подій, що сприяють події А, т – кількість усіх елементарних подій простору . Обчислення ймовірностей за вказаним правилом називають обчисленням ймовірності події за класичною схемою.

* Властивості ймовірності події

* Алгоритмічний припис обчислення ймовірності події за класичною схемою Опиши експеримент, про який йдеться в умові задачі та відповідний простір елементарних подій . Обґрунтуй рівноможливість елементарних подій і визнач, з яких елементарних подій складається подія А. Визнач кількість т елементарних подій простору Ω. Визнач кількість k елементарних подій, що сприяють події А. Обчисли ймовірність події А за формулою

* Комбінаторика При розв’язуванні задач з теорії ймовірностей не завжди можливо побудувати повну групу елементарних подій через великий обсяг роботи. Тому обмежуються тільки обчисленням кількості всіх елементарних подій, а також кількості тих із них, що сприяють певній випадковій події. При цьому використовують правило множення, перестановки, розміщення та комбінації.