X Код для використання на сайті:
Ширина px

Скопіюйте цей код і вставте його на свій сайт

X Для завантаження презентації, скористайтесь соціальною кнопкою для рекомендації сервісу SvitPPT Завантажити собі цю презентацію

Презентація на тему:
Перестановки, розміщення, комбінації

Завантажити презентацію

Перестановки, розміщення, комбінації

Завантажити презентацію

Презентація по слайдам:

Слайд 1

Елементи комбінаторики Перестановки, розміщення, комбінації

Слайд 2

Перестановки Проаналізуємо умови задач 2 і 4. 2. Запишіть усі трицифрові числа, які можна утворити за допомогою цифр 1, 2, 3 не повторюючи їх у запису числа. Скільки таких чисел утворилось? 4. Десять друзів зайшли перекусити до кав’ярні. Вони довго вирішували, яким чином розміститися за стійкою. Хазяїн кав’ярні запропонував їм угоду, за якою друзі можуть приходити щодня, але сідати кожного разу у різному порядку. Після того, як вони перепробують усі можливі варіанти, їх будуть годувати за рахунок закладу. На який день друзі отримають безкоштовний обід? Що є спільного в задачах?

Слайд 3

Перестановки В обох задачах ми мали справу з деякою множиною різних елементів, для яких встановлювали певний порядок. Множину М, яка складається з п елементів (п N), називають упорядкованою, якщо між нею і множиною перших п натуральних чисел установлено взаємно однозначну відповідність.

Слайд 4

Перестановки Отже, в задачах 2 і 4 ми впорядковували елементи кожної із даних множин, отримували вже різні впорядковані множини і фактично відповідали на запитання “скількома способами можна впорядкувати елементи множини?”. В комбінаториці будь-яка впорядкована множина, що складається з п елементів називається перестановкою. Усі перестановки з п елементів відрізняються одна від одної порядком розміщення цих елементів.

Слайд 5

Перестановки Розглянемо, наприклад, таку множину Елементи розміщені у певному порядку – це одна перестановка Змінюючи порядок розміщення елементів отримуємо інші перестановки

Слайд 6

Кількість перестановок з п елементів Першим може бути будь-який з п елементів. Другим — будь-який з п – 1 елементів. Тоді перші два елементи можна розташувати п · (п – 1) способами. Третім може бути будь-який з п – 2 елементів, що залишилися. Будь-який третій елемент можна поєднати з будь-якою парою з перших двох елементів. Утворених трійок буде п · (п – 1) · (п – 2). Продовжуючи міркування, отримуємо, що п елементів можна впорядкувати п · (п – 1) · (п – 2) · … · 2 · 1 способами.

Слайд 7

Кількість перестановок з п елементів Добуток п · (п – 1) · (п – 2) · … · 2 · 1 позначається п! (п факторіал). Кількість перестановок позначається Рп. Отже, Рп = п!

Слайд 8

Розміщення Тепер проаналізуємо задачі 5, 6, 7. 5. Скільки двоцифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, не повторюючи їх у запису числа? 6. Скільки трицифрових чисел можна утворити з цифр 2, 3, 4, 7, не повторюючи цифри в запису числа? 7. З 18 студентів групи необхідно вибрати старосту, його заступника і профорга. Скільки існує варіантів такого вибору? Що є спільного в цих задачах і чим вони відрізняються від попередніх задач 2 і 4?

Слайд 9

Розміщення з п елементів по т елементів Знову у задачах ми мали справу з деякою множиною різних елементів. Потім ми впорядковували певну кількість елементів кожної із множин, отримували різні впорядковані підмножини розглядуваних множин і відповідали на запитання скількома способами можна впорядкувати різні підмножини даної множини. В комбінаториці будь-яка впорядкована підмножина з т елементів даної множини, що містить п елементів (т ≤ п) називається розміщенням з п елементів по т елементів. Усі розміщення з п елементів по т елементів відрізняються одна від одної складом елементів та порядком їх розташування.

Слайд 10

Розміщення Розглянемо, наприклад, множину з 8 елементів Утворюючи і впорядковуючи її підмножини, наприклад з 5 елементів, будемо отримувати різні розміщення з 8 по 5 елементів

Слайд 11

Кількість розміщень з п елементів по т елементів Першим може бути будь-який з п елементів. Другим — будь-який з п – 1 елементів. Тоді перші два елементи можна розташувати п · (п – 1) способами. Третім може бути будь-який з п – 2 елементів, що залишилися. Будь-який третій елемент можна поєднати з будь-якою парою з перших двох елементів. Утворених трійок буде п · (п – 1) · (п – 2). Продовжуючи міркування, отримуємо, що на т-те місце можна вибрати будь-який з п – т + 1 елементів. Тому всіх розміщень з п елементів по т елементів буде п · (п – 1) · (п – 2) · … · (п – т + 1)

Слайд 12

Кількість розміщень з п елементів по т елементів Кількість розміщень з п елементів по т елементів позначається Отже,

Слайд 13

Комбінації Наостанок проаналізуємо задачі 8 і 9. 8. З тієї самої групи студентів (задача 7) необхідно вибрати трьох для участі у загально університетському заході. Скільки існує варіантів такого вибору? 9. У продавця квітами є троянди 7 кольорів. Скільки можна утворити букетів з 5 різнокольорових троянд? Що є спільного в цих задачах і чим вони відрізняються від попередніх?

Слайд 14

Комбінації з п елементів по т елементів І знову у задачах ми мали справу з деякою множиною різних елементів. Потім ми вибирали певну кількість елементів кожної із множин, отримували різні, але вже не впорядковані підмножини розглядуваних множин і відповідали на запитання скількома способами це можна зробити. В комбінаториці будь-яка підмножина з т елементів даної множини, що містить п елементів (т ≤ п) називається комбінацією з п елементів по т елементів. Усі комбінації з п елементів по т елементів відрізняються одна від одної тільки складом елементів.

Слайд 15

Комбінації Розглянемо, наприклад, множину з 8 елементів Утворюючи будь-які її підмножини, наприклад з 5 елементів, будемо отримувати різні комбінації з 8 по 5 елементів

Слайд 16

Кількість комбінацій з п елементів по т елементів Спираючись на міркування у розв’язаннях розглянутих задач, можна дійти висновку, що для обчислення кількості комбінацій з п елементів по т елементів потрібно кількість розміщень з п елементів по т елементів поділити на кількість перестановок з т елементів. Кількість комбінацій з п елементів по т елементів позначають Отже,

Слайд 17

Кількість комбінацій з п елементів по т елементів Помножимо чисельник і знаменник дробу на (п – т)!. Матимемо

Слайд 18

Вибір сполуки Чи всі елементи множини задіяні в утворенні сполуки? ні Перестановки Чи важливий порядок елементів? так ні Розміщення Комбінації так

Слайд 19

1. У школі 20 класів і 20 класних керівників. Скількома способами можна розподілити класне керівництво між учителями? (№ 25.5, Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра: Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики) Кількість можливих розподілів класного керівництва між 20 учителями – це кількість перестановок з 20 елементів. Р20 = 20!

Слайд 20

2. Скільки трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5? Цифри в запису числа не повторюються. Кожне утворене число є деяким розміщенням. Кількість розміщень з 6 елементів по 3 елементи: Але серед них є і всі ті записи, які починаються з цифри 0. Це, фактично, двоцифрові числа, записані цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Їх буде: Отже, шукана кількість чисел:

Слайд 21

2. Скільки трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5? Цифри в запису числа не повторюються. На першому місці можна записати будь-яку з цифр 1, 2, 3, 4, 5 – всього 5 способів. На другому – знову будь-яку з 5 (серед них вже може бути 0). На третьому – будь-яку з 4, що залишилися після запису перших двох цифр числа. За комбінаторним правилом множення різних записів трицифрових чисел буде: 5 · 5 · 4 = 100

Слайд 22

3. У шаховому гуртку 5 хлопців і 3 дівчини. Для зустрічі з гросмейстером прийшло 3 запрошення. Скількома способами можна розподілити запрошення так, щоб на зустріч потрапила хоча б одна дівчина ? “Хоча б одна дівчина” – означає, що їх може бути або одна, або дві, або три. Питання можна поставити так: Скількома способами можна вибрати 3-х осіб з 5 хлопців і 3 дівчат, щоб серед них були або 1, або 2, або 3 дівчини?

Слайд 23

3. У шаховому гуртку 5 хлопців і 3 дівчини. Для зустрічі з гросмейстером прийшло 3 запрошення. Скількома способами можна розподілити запрошення так, щоб на зустріч потрапила хоча б одна дівчина? Одну дівчину з 3-х можна вибрати 3 способами. Способів вибору 2-х хлопців з 5-ти: Всього трійок з 1 дівчини і 2 хлопців: Трійок з 2 дівчин і 1 хлопця буде: Три дівчини можна вибрати тільки 1 способом. Загальна кількість способів: 30 + 15 + 1 = 46

Слайд 24

3. У шаховому гуртку 5 хлопців і 3 дівчини. Для зустрічі з гросмейстером прийшло 3 запрошення. Скількома способами можна розподілити запрошення так, щоб на зустріч потрапила хоча б одна дівчина? Усіх довільних трійок можна утворити В усіх інших виборах будуть присутні дівчата. Отже, таких виборів 56 – 10 = 46 Трійок тільки з 3-х хлопців є:

Слайд 25

4. З 10 тенісисток і 6 тенісистів складають 4 змішані пари. Скількома способами це можна зробити? 4 змішані пари – це 8 осіб: 4 тенісистки і 4 тенісиста. 4 тенісистки з 10 можна вибрати 210 способами. 4 тенісиста з 6 можна вибрати 15 способами. Тоді 8 осіб для утворення 4 пар можна вибрати 210 15 = = 3150 способами. З 8 осіб утворити 4 змішані пари можна так: одного з тенісистів поставити у пару з будь-якою з 4 тенісисток, всього 4 способи; другого з них поставити у пару вже з будь-якою з 3 тенісисток, всього 3 способи; третього – з 2 тенісисток, всього 2 способи; для четвертого залишається тільки один спосіб стати у пару. Отже всього 4 3 2 1 = 24 способи утворення 4 пари з 8 осіб. А всіх способів утворити чотири змішані пари є 3150 24 = 75 600

Слайд 26

4. З 10 тенісисток і 6 тенісистів складають 4 змішані пари. Скількома способами це можна зробити? Всіх змішаних пар з 10 тенісисток і 6 тенісистів можна утворити 10 6 = 60. Проілюструємо це схемою-сіткою. Вузли сітки – це пари. Щоб вибрати 4 пари треба, наприклад, взяти будь-які 4 стовпчики, а потім із кожного стовпчика взяти по одній парі з різних рядків.

Слайд 27

4. З 10 тенісисток і 6 тенісистів складають 4 змішані пари. Скількома способами це можна зробити? Способів вибрати 4 стовпчики з 10: Після цього першу пару можна вибрати з будь-яких 6 рядків, всього 6 способів; другу – з 5 рядків, всього 5 способів; третю – з 4 рядків і четверту – з 3 рядків. Тоді всього способів вибрати 4 пари: